Кавычки не нужны. Правильно: Год российской истории, Год Италии в России.
Правильно: Как ни старался, не мог...
Да, возможно.
Сократить можно только слово год (г.). Слово постройка не входит в список общепринятых сокращений, предусмотренных ГОСТ Р 7.0.12-2011.
Правильно: год Змеи, год Собаки, год Крысы и т. д. Такая фиксация – в академическом «Русском орфографическом словаре» под ред. В. В. Лопатина и О. Е. Ивановой (4-е изд., М., 2012). Корректно также: год Черной Водяной Змеи.
Запятая нужна.
Верно: между 1619 и 1636 г.
О написании названий марок автомобилей см. в «Письмовнике».
О штате - в Гоа. О побережье - на Гоа.
Правильно: двухтысячного года; двухтысячному году; двухтысячный год; двухтысячным годом; в двухтысячном году (родиться), о двухтысячном годе (вспоминать).