Слово кстати в этом предложении действительно является наречием. Сочетание кстати и некстати входит в ряд обстоятельств, зависящих от сказуемого втискивали. Эти обстоятельства представлены как дополнительная информация, добавочные сведения (= «всюду втискивали науку, причем кстати и некстати...»), то есть представляет собой присоединительную конструкцию. Добавим, что, поскольку эта конструкция включена в предложение без союзов, предпочтительно было бы поставить тире: ...мы всюду втискивали науку — кстати и некстати, с умыслом и без умысла, искусно и неискусно. Впрочем, запятая в этих случаях также используется, и она не ошибочна.

Косая черта как знак сокращения используется в двух случаях: 1) если усечен предлог (на, под, по и т. д.): км/ч, п/п; 2) если сокращены до одной буквы составные части слова, пишущегося через дефис. В Ваших примерах использование косой черты неоправданно.

Примеры, которые Вы приводите (мне неведомо и никому не ведомо), нельзя назвать идентичными: во втором случае есть отрицательное местоимение никому. Оно требует раздельного написания не с последующим прилагательным. В Вашем предложении нет причин писать раздельно, корректно: многим избирателям неведомо понятие «гражданская позиция».

Лучше использовать такое пунктуационное оформление: За все почти 30 лет независимости страны кто бы ни был во главе, от Кравчука до Порошенко, – никого нельзя помянуть добрым словом.

В Вашем варианте тире несут разные функции, и это мешает понять связи между частями предложения.

Это шашни.

ШАШНИ, -ей; мн. Неодобр.
1.
Скрытые происки, козни; интриги. Это ш. соседа! Вскрыть чьи-л. ш. Какие-то ш. пущены в ход.
2.
Любовные интриги, любовная связь. Завести, развести с кем-л. ш. Ш. мужа её не беспокоили. Все знают о ваших шашнях!

Разрушаясь, например при перестановке компонентов, фразеологический оборот превращается в свободное сочетание, и запятая ставится на общих основаниях. Но в Вашем предложении запятая все же не нужна, потому что оборот как рыба тесно связан со сказуемым, которое без сравнительного оборота не имеет законченного смысла.

Не обособляется частица чай, подчеркивающая достоверность высказывания (то же, что ведь, все-таки). Но выделяется запятыми вводное слово чай, выражающее допущение, предположение (то же, что вероятно, пожалуй): Озяб, чай?

В Вашем примере запятая не нужна: Чай я не барыня какая (= я ведь не барыня).

Не можем полностью согласиться с Вашими замечаниями. Вводные слова могут не отделяться от предшествующего союза А по той причине, что эти слова нельзя изъять из состава предложения или переместить; в примере из интерактивного диктанта такая причина отсутствует. Касательно второго замечания: орфограмма снята.

Замечание о названиях -е и -о в «Письмовнике» касается названий городов, то есть случаев, когда отсутствует согласование по роду: в городе Видное. Поскольку в Вашем примере, как Вы верно заметили, согласование полное, то причин не склонять название нет: в селе Красносельском.