Если деепричастный оборот открыв рот используется не в буквальном, а в переносном смысле ('изумленно, удивленно'), он имеет значение обстоятельства образа действия и не обособляется. Об условиях необособления деепричастных конструкций, см., например, параграф 71 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.
Все три фамилии должны склоняться.
Один овощ, но всякая овощь (в разговорной речи).
Пунктуация верна.
Как правило, "ответственная".
Да, можно. Это слово входит в состав русского литературного языка.
Правильно: адаптирована к условиям. Употребление предлога под в этой конструкции – ошибка. См.: Лазуткина Е. М. Словарь грамматической сочетаемости слов русского языка. М., 2012.
В «Морфемно-орфографическом словаре» А. Н. Тихонова (М., 2002) в этом слове выделен корень подъём-.
Слово луна не употребляется здесь в терминологическом значении, поэтому пишется строчными: ничто не вечно под луной.
Запятая нужна. Она ставится между главным и придаточным предложением в составе сложноподчиненного. При этом в главной части предложение неполное (подразумевается: с того момента). В справочнике Д. Э. Розенталя «Пунктуация» предложениям такого типа посвящен отдельный пункт, ср. примеры из справочника: Вот уже два года, как мы женаты. Уже месяц, как он вернулся с юга. Уже три недели, как мы здесь.
