Эта область письма не регламентирована. Лучше написать название в соответствии с тем, как написано в языке-источнике.

Правильно: Островский район, хотя город Остров. Ср.: Белгород, но Белгородская область. Русский язык не любит, когда после ударного слога остается много безударных.

Прилагательные, образованные от географических наименований, пишутся со строчной буквы, если они не входят в состав собственных наименований (ср.: московские дворики, но Московская область).

В географических и административно-территориальных названиях — названиях материков, морей, озер, рек, возвышенностей, гор, стран, краев, областей, населенных пунктов, улиц и т. п. — с прописной буквы пишутся все слова, кроме родовых понятий (остров, море, гора, область, провинция, улица, площадь и т. п.), служебных слов, а также слов года, лет).

Таким образом, верно: сквер Двенадцати Лучей (если речь идет о московских Кузьминках, то официальное название: парк Двенадцати Лучей).

Слово имени в подобных случаях выступает в роли предлога (то есть служебного слова) и поэтому пишется с маленькой буквы. 

В этом сочетании действительно нужно тире — по правилам координации, поскольку одна из частей приложения содержит дефис (см. пункт 2 параграфа 154 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина).

Правильно: оренбургской нефти. Прилагательные, образованные от географических названий, пишутся со строчной буквы, если не являются частью составных географических и административно-территориальных названий (ср.: Оренбургская область) или наименований организаций, учреждений (ср.: Оренбургский государственный университет).

Домен – группа узлов Интернета, объединенная по тематическому, географическому принципу, принадлежности частным лицам или организациям и т. п., входящая в иерархическую структуру Сети; часть адреса ресурса, отделяемая точками и определяющая область его регистрации.