Очень интересный вопрос. Даже самыми подробными пунктуационными правилами подобная ситуация не описана. Оправданным представляется первый вариант: Пока люди мучаются, снимая детское кресло, – хочу поздравить...

1. Деепричастие пья не является нормативным и употребляется крайне редко. См., например: Даже едя и пья, не преследуют вкуса ― лишь бы нажраться (И. А. Бунин. Дневники). Всё это делал Шухов и хлеб начал помалу отламывать от двухсотграммовки, сам же слушал обневолю, как внизу под ним, чай пья, разговорились кавторанг с Цезарем (А. Солженицын. Один день Ивана Денисовича). Деепричастие можно заменить придаточным обстоятельственным предложением: когда мы пили... когда пьют...

2. Пье – несклоняемое существительное, образованное от исп. слова pie 'фут'. Обозначает единицу длины в ряде стран Лат. Америки, в Испании, Бельгии; колеблется в пределах 27,83 – 32,48 см. (См.: Крысин Л. П. Толковый словарь иноязычных слов. М., 2000.)

Нарекать – глагол несовершенного вида. От глагола совершенного вида наречь образуется деепричастие совершенного вида нарекши.

Деепричастие смотря, образованное от глагола смотреть, существует и употребляется.

Определить поможем, а письменный анализ – это уже Ваше задание. В этом предложении ошибка в употреблении деепричастного оборота: деепричастие должно указывать на действие того предмета (лица), который назван подлежащим, причем этот предмет (лицо) должен быть субъектом двух действий — названного в сказуемом и в деепричастии. Если эти требования не соблюдаются, получаются неправильные предложения.

Да, это форма пев.

Вот что написано о подобных ошибочных конструкциях в справочнике Ю. А. Бельчикова «Практическая стилистика современного русского языка» (М., 2012):

Приведенные ошибочные конструкции, построенные по образцу тех, что характерны для французского языка (их называют галлицизмы), встречаются в художественной прозе XIX века, напр.: Проезжая на возвратном пути в первый раз весною знакомую березовую рощу, у меня снова закружилась голова и заболело сердце от смутного сладкого ожидания (И. С. Тургенев). В этом предложении деепричастие и личные глаголы (сказуемые) соотносятся с разными производителями действия: проезжая = я проезжал, закружилась голова, заболело сердце.

В современном русском языке такие конструкции не соответствуют норме.

Молча – наречие (идти молча), молча – деепричастие (так они и жили, целыми днями молча).

Запятая не нужна. Деепричастный оборот не обособляется, если деепричастие имеет в качестве зависимого слова союзное слово который в составе определительной придаточной части сложноподчиненного предложения (такое деепричастие от придаточной части запятой не отделяется; запятая ставится только перед деепричастием).

Нет. От глагола совершенного вида захмелеть образуется деепричастие захмелев.