Склонение мужской фамилии Коток обязательно. Фамилию можно склонять двояким образом: с выпадением гласного (Котка, Котку и т. д.) и с сохранением гласного (Котока, Котоку и т. д.). Решение о типе склонения принимает носитель фамилии, но предпочтителен второй вариант (с сохранением гласного), так как в этом случае из косвенных форм легко вывести начальную форму фамилии.
Правильно: ушел непобежденным.
Кавычки не нужны.
Приведенную Вами форму трудно назвать уменьшительно-ласкательной. В каком контексте и с каким значением Вы хотите использовать эту форму?
В большинстве случаев эти слова пишутся слитно с отрицательной частицей.
Нет, это неправильно.
Возможные варианты: выкрашена в черный и выкрашена черным. Вариант с формой среднего рода некорректен.
Если отсутствует слово специальность, то названия специальностей пишутся со строчной, без кавычек.
Такое употребление возможно только в шутку.
