В школьных учебниках, в методической литературе встречаются оба варианта — с тире и без него. Колебания обусловлены тем, что к такому сочетанию могут быть применены сразу два правила. Первое (см. § 154): в сочетаниях с приложением, если одна из частей содержит пробел, ставится тире. Второе (см. § 122): пишутся раздельно cочетания с приложениями, следующими за определяемым словом, если первое слово является по значению более широким и общим, а второе — более узким и конкретным (птица иволга, гриб подосиновик, суп харчо и т. п.). На наш взгляд, применение первого правила является здесь более оправданным.

Большой толковый словарь

За глаголом остаться довольно часто следует глагол несовершенного вида. Вот несколько примеров.

Иван Иванович и я остались ждать в парке, а Клавдия Тихоновна отправилась искать Николая Владимировича, чтобы узнать о возможности устройства нашей судьбы. Д. Гранин, «Зубр». Сергей хотел сразу же уехать, но Павел Алексеевич попросил его остаться ночевать. Л. Улицкая, «Казус Кукоцкого». Старик помнил, что вроде бы все инструменты он продал в тяжелые времена ― но, видать, самые мелкие и тонкие остались ждать своего часа в углу за веником. Л. Петрушевская, «Маленькая волшебница».

Предложение Он всегда останется помочь построено корректно. Сочетание останется помогать также возможно, но не в данном предложении.

Очень сомнительная ситуация, увы. Если в списке фразеологизмов, опубликованных на сайте ФИПИ, имеется сочетание только что, то выбравшему его ученику такой выбор не может быть засчитан за ошибку. Тем более что широкое понимание фразеологии, на котором настаивают многие ученые, позволяет обнаружить в приведенных Вами предложениях и другие фразеологизмы: например, с порога. См.: = С порога — сразу же после прихода куда-л. — Если бы кто-нибудь... с порога взглянул на них, то непременно заключил бы, что они сидят и миролюбиво разговоривают. Достоевский. (Фразеологический словарь современного русского литературного языка. Под ред. А. Н. Тихонова. М.: Наука, 2004. Т. 2. С. 80.)

Это слова имеют разные значения, они не синонимичны.

ПРОЧИТЬ, -чу, -чишь; нсв. кого-что. Разг. Заранее предназначать, предположительно определять. Ей прочат блестящее будущее. Брата с детства прочили в военные. На его место прочат новенького. Её прочат замуж за метрдотеля. Прочиться, -чится; страд.

ПРОРОЧИТЬ, -чу, -чишь; нсв. (св. напророчить). что. Предсказывать, предвещать. Тебе пророчат большое будущее. Говорят, звёздный дождь пророчит счастье.

Этимология у них также различна. Пророчить образовано от пророк (это калька с греческого προφήτης «прорицатель», буквально «говорящий будущее»), а прочить — исконно славянское, сууффиксальное производное от прок «остаток». 

ПОДВИ́НУТЬ, -ну, -нешь; подви́нутый; -нут, -а, -о; св. кого-что. 1. (кому-чему, к кому-чему). Несколько, немного придвинуть или передвинуть. Подвинь стол! П. к жене тарелку. // Подвинуть, переместить в сторону. С грохотом п. стул. 2. Разг. Продвинуть немного вперёд в каком-л. отношении, содействовать развитию, совершенствованию чего-л. Существенно п. дело. П. дело вперёд, далеко. Далеко п. свои воспоминания. 3. Устар. Побудить, склонить к совершению чего-л. П. друга на сострадание. П. себя на поездку в деревню. Подвига́ть, -а́ю, -а́ешь; нсв. Подвига́ться, -а́ется; страд. Подви́жка (см.).

ПОДОДВИ́НУТЬ, -ну, -нешь; св. Немного, поближе придвинуть.

Новое предложение в этом случае всё же начинается сразу после закрытой кавычки. Нельзя не отметить, однако, что правила недостаточно четко регламентируют данную ситуацию, о чём подробнее см. в ответе на вопрос № 325853.

Добавим, что и оформление первого предложения, с двумя глаголами речи, каждый из которых вводит свой фрагмент высказывания и расположен перед этим фрагментом, представляет собой трудность: полностью аналогичных примеров в имеющихся справочниках не обнаруживается. Можно рекомендовать такой вариант: Он произносил: «Ну-с, молодые люди, чего вам угодно? — И шутливо добавлял: — Пару чая или по штофу водки?» Поняв, чего от него хотят «молодые люди», он быстро удовлетворял наше желание...

Правила пунктуации говорят то же самое: запятой после слова которой здесь не должно быть. Вероятно, недосмотр корректора.

См. в «Горячих вопросах».