Верно: первый двадцать один день и первый тридцать один арбуз. Прилагательное (порядковое числительное) согласуется не с составным числительным, а с существительным, которое имеет форму единственного числа.

Слова доблесть и лесть не являются этимологически родственными. Доблесть заимствовано из старославянского языка, в котором оно восходит к добль ''благородный, сильный, храбрый', того же корня, что добрый.

Слово земский устаревшее и для обозначения современных реалий не употребляется. В данном случае оно используется как часть условного названия, которое следует писать с большой буквы: Земская гимназия.

Принято отличать существительное неохота, от слова неохота, которое используется в значении сказуемого. Такое слово относят к словам категории состояния или предикативам. См. также словарную статью Орфографического словаря.

Ссечки – диалектное слово, его значение: 'место в лесу, где вырублены деревья; вырубка'.

Слово майер, которое употребляет Тургенев в «Записках охотника», тоже диалектное и означает оно 'тростник, камыш'.

Это точно необходимо? Дело в том, что написанное словами понять будет совершенно невозможно...

Можно записать так: дробь, в числителе которой число такое-то, а в знаменателе - такое-то.

Дело в том, что существует существительное донжуан, которое пишется слитно.

Орфографический словарь

Буква ь пишется в неопределенной форме глагола (что делать? говориться) и не пишется в форме 3-го лица единственного и множественного числа. Ср.: письмо, в котором должно говориться... 

Честно говоря, трудно представить себе контекст, в котором можно было бы использовать второе сочетание (и посему трудно считать такое сочетание безупречным). Правильнее, видимо: 5 миллиграммов апельсинового сока.

Слово появляется тогда, когда возникает (или актуализируется) соответствующее понятие, которое требуется выразить средствами языка. На Ваш вопрос можно ответить так: слово возникнет, если в этом будет необходимость.