Из фамилий, заканчивающихся на гласную а, не склоняются такие, в которых а стоит после гласной (например, Моруа, Гулиа), и французские с ударным конечным гласным (например, Дюма, Ферма). Фамилия Черпита к этим группам не относится, значит должна склоняться. 

Такое оформление прямой речи возможно. В справочнике Д. Э. Розенталя «Пунктуация» приведено такое правило:

Если авторские слова, стоящие после прямой речи, представляют собой отдельное предложение, то они начинаются с прописной буквы:

— Скорей, загорелась школа! — И он побежал по домам будить людей.

В предложениях подобной структуры (с опущенным сказуемым) тире факультативно. Оно ставится при наличии паузы, при ее отсутствии не ставится. Ср.: Олимпийский огонь — на нашей земле! Впереди — А. Карпов и Скрип шагов вдоль улиц белых, огоньки вдали; А в доме стук, ходьба…

Действительно, Вашу фамилию нужно склонять, если ударение не падает на конечное -А. Если же ударение падает на конец слова, то возможны колебания: не склоняются, например, французские фамилии типа Дюма, Золя и др. Отметим, что несклонение встречается в основном среди иноязычных фамилий.

В «Справочнике по правописанию и литературной правке» Д. Э. Розенталя приведен пример: «Пиковая...» ли это «...дама»? Аналогично: «Ленинские...» опять же «...горы». Обратите внимание: в названии станции метро «Воробьёвы горы» (до 1999 г. – «Ленинские горы») слово горы (как и в самом топониме) пишется строчными.

Фамилия склоняется и в сочетании с именем, и при употреблении без предшествующего имени. Законы русской грамматики предписывают склонять все мужские и женские фамилии, оканчивающиеся на -а, -я, которым предшествует согласный. Единственное исключение – фамилии французского происхождения с ударением на последнем слоге типа Дюма, Золя.

Ударение на дверИ корректно. Ударение в локативах действительно падает на последний слог, но в некоторых случаях формы местного падежа не соответствуют современной литературной норме (считаются просторечными), например: в дубу, в дому. Поэтому, если возникают сомнения, в каждом конкретном случае лучше свериться со словарем.

Предложение корректно. Оборот к услугам кого-либо устойчиво употребляется как выражение, говорящее не только о чьей-либо готовности быть полезным кому-либо, но и о готовности чего-либо. Ср.: Дом мой к вашим услугам. На Дворцовой набережной, дом Баташева у Прачечного моста (А. С. Пушкин); На газонных площадках были приготовлены к услугам гостей различные игры: в серсо, волан, бильбоке (М. Волконский. Сирена. 1903); Я от графа Шувалова, его сиятельство просит вас немедленно прибыть в Миллионную по чрезвычайно важному делу. Экипаж к вашим услугам, ждет внизу (Л. Юзефович); «Всё судно к вашим услугам», — вежливо ответил Карпов (В. Аксенов).

Сочетание картина маслом может употребляться в прямом смысле 'картина, написанная масляными красками' и в переносном – о том, что вызывает какие-либо эмоции у говорящего (удивление, восхищение, негодование, возмущение и т. п.), например: ремонт в нашем доме – ну просто картина маслом: один работает, пятеро стоят и смотрят.

Правилен второй вариант. Если авторские слова, стоящие после прямой речи, представляют собой отдельное предложение, то они начинаются с прописной буквы. Ср. с примером из справочника Д. Э. Розенталя  «Современный русский язык. Пунктуация» (М., 2002):

— Скорей, загорелась школа!  — И он побежал по домам будить людей.