Оснований для запятой нет, она не нужна.
Для постановки запятой нет оснований.
Правильно без запятой. Для ее постановки нет оснований.
У слова второй отмечено значение «такой, статус которого на одну ступень ниже по сравнению с основным, первым», среди иллюстративных примеров приводится предложение В институте Иван Иванович – второе после директора лицо (см. значение 1.2 у слова второй3 в «Большом универсальном словаре русского языка»). Судя по этим данным, выражение второй после N будет понято как синонимичное сочетанию первый после N. Обособление сочетания после N в этом случае не влияет на смысл высказывания.
Количественные числительные пишутся без наращений: Он пришел домой после 12.
По аукционам, проведенным после 4 мая... = по аукционам, которые были проведены 5 мая и позже. По аукционам, проведенным после 5 мая... = по аукционам, которые были проведены 6 мая и позже.
Однако в данном случае — это союз в значении "но". И здесь не запятая отделяет слово однако, а парные запятые выделяют обособленное обстоятельство после столь долгой разлуки.
См. справочник /biblioteka/spravochniki/pravila-russkoy-orfografii-i-punktuatsii/znaki-prepinaniya-pri-obosoblennykh-obstoyatelstvakh
Точка ставится после кавычек. В справочниках это правило обычно приводится в разделе «Сочетание знаков препинания».
Запятая после слова квартиру не нужна.
Такое сочетание корректно, употребимо в разговорной речи.