Корректно раздельное написание: педагогически активный.
Правильно: пойти за молоком.
Это причастие (отглагольное прилагательное), образованное от приставочного глагола.
Общую рекомендацию дать нельзя. Выбор написания будет предопределяться в каждом конкретном случае контекстом: в одном случае переводная фраза может осмысляться как название, в другом — как толкование значения. В первой приведенной Вами фразе видится возможным двоякое осмысление и, соответственно, написание: Японию часто называют Land of the Rising Sun — Страна восходящего солнца (название) и Японию часто называют Land of the Rising Sun — «страна восходящего солнца» (= что означает...). Во втором примере вводится переводное название, которое оформляется кавычками: американская компания Apple (в переводе — «Яблоко»).
Правильно в кавычках: парк "Ладожские шхеры".
См. в "Письмовнике": Реальные собственные имена и условные наименования различаются синтаксической сочетаемостью. Ср.: Большой театр, Театр сатиры, Театр на Юго-Западе – это реальные собственные имена, в них присутствует синтаксическая сочетаемость, кавычки не нужны. Но: театр «Современник», театр «Школа современной пьесы» – условные наименования, не сочетающиеся синтаксически с родовым словом. Они заключаются в кавычки. Аналогично: парк Дружбы, но: парк «Сокольники», Коммунистическая партия Российской Федерации, но: партия «Яблоко» и т. д.
