Можно написать имя, имя и отчество или инициалы. Решать редактору.
Правильно: Индивидуальный предприниматель (ИП) Иванова А. А., действующий на основании…
Верен первый вариант.
Корректно написание со строчной буквы: епархиальный архиерей.
Для ответа на Ваш вопрос нужен более широкий контекст.
Сказуемое ставится в форме женского рода, если оно стоит после собственного имени. Правильно: Прапорщик Иванова дежурство сдала.
Ученая степень и ученое звание разделяются запятой.
Сказуемое в такого рода конструкциях ставится в форме женского рода, если оно стоит после собственного имени: истец Иванова И. И. обратилась в суд, третье лицо Иванова И. И. поддержала иск. Если сказуемое предшествует сочетанию «рассматриваемое слово + собственное имя», нужен мужской род: в суд обратился истец Иванова И. И. Подробные правила см. в «Письмовнике».