Из-за своего внешнего фонетического облика слова ТАСС, МИД и другие (в том числе ЦИК) могут восприниматься как обычные существительные мужского рода. Однако колебания в роде все-таки возможны.

Действительно, за последние годы литературная норма несколько смягчилась. Хотя и во времена СССР у многих слов были равноправные варианты постановки ударения, общая тенденция замечена Вами верно. В последние десятилетия произошла своего рода «демократизация» нормы: многое из того, что раньше запрещалось словарями, теперь стало допустимым, а иногда и предпочтительным. Причин тому несколько.
Во-первых, орфоэпические словари прежде были ориентированы не только на широкий круг носителей языка, но и (и даже в первую очередь) на дикторов радио и телевидения, в речи которых не должно было быть никакого разнобоя. Поэтому варианты в большинстве случаев не указывались; двоякое ударение в словах приводилось только тогда, когда при всем желании невозможно было отдать предпочтение одному из вариантов. Сейчас же многие словари стремятся отразить динамику литературной нормы, поэтому иногда в них приводятся как допустимые и такие варианты, которые еще не являются эстетически приемлемыми для всех носителей языка (например, дОговор, нет носок), но, несомненно, станут таковыми в будущем.
Во-вторых, изменилось отношение лексикографов к вариантности нормы. Вот, например, цитата из предисловия к орфоэпическому словарю русского языка 1959 года издания: «Наличие колебаний (вариантов) часто нарушает правильность речи и тем самым понижает доходчивость ее. Это особенно нетерпимо для различных форм устной публичной речи». Сейчас такая нетерпимость прошла; по мнению многих лингвистов, лексикографическая деятельность не должна сводиться «ни к искусственному консервированию пережитков языка, ни к бескомпромиссному запрещению языковых новообразований» (К. С. Горбачевич).
Наконец, перемены в языке наступили вслед за переменами в общественно-политической жизни. Сейчас пришло понимание того, что следование норме включает в себя и умение выбирать соответственно ситуации речевого общения. Другими словами, наряду с однозначными правилами норма предполагает и возможность выбора. Это различие очень удачно сформулировал Б. С. Шварцкопф (в статье о кавычках) как различие между правилом и правом. Право на выбор (в том числе и выбор варианта языковой единицы) и признание права другого носителя языка на иной выбор – это важнейшая составляющая речевого общения.

Корректно: лучше сохраняются в атмосфере не слишком прохладной, не жаркой и не влажной, а также не подверженной резким колебаниям температуры.

А о чем речь - об игре на инструментАХ или о колебаниях инструментОВ?

Правильно: Такие проблемы, возникающие, главным образом, в результате...
Пунктуация во втором предложении верна, но само предложение слишком тяжеловесно - его лучше перестроить.

К сожалению, у «Справочной службы» нет возможности отвечать на столь объемные вопросы.

Так как одно из значений слова колебаться -- 'быть неустойчивым, непостоянным, меняться', употребление репутация колеблется корректно.

Слово билборд зафиксировано в таком его написании «Русским орфографическим словарем» РАН. Удвоенная согласная в языке-источнике далеко не всегда приводит к удвоению согласной в русском языке, ср.: коридор, офис, софит и др. То, что в словаре, на который Вы ссылаетесь, дается написание с двумя Л, неудивительно: заимствованное слово, осваиваясь языком, часто испытывает колебания в написании. Сейчас нормативно: билборд.

Правильно: флешмоб. Мы рекомендовали дефисное написание, когда это слово еще не было зафиксировано в словаре. Это нормально: заимствованное слово, постепенно осваиваясь языком, часто испытывает колебания в написании.

Слово шопинг испытывало колебания в написании и раньше не было зафиксировано в словарях. Написание же бизнес-центр и раньше было единственно правильным.