Корректно дефисное написание: по-сырому, по-мокрому. Кавычки не нужны. 

Более высокоуровневый принцип — не может быть написано слитно или раздельно в зависимости от намерений автора выразить утверждение (слитное написание) или отрицание признака (раздельное написание).

Сочетания с наречиями меры и степени — один из типичных контекстов, в которых выражается утверждение, поэтому в таких случаях, как правило, не пишется слитно: крайне невразумительный ответ, довольно неудачный финал, достаточно непротиворечиво сформулировано, исключительно неблагоприятные обстоятельства.

Однако при ударении на отрицании сохраняется раздельное написание и в контексте наречий степени, например: абсолютно неинтересный фильм (утверждение) и абсолютно не интересный фильм (с логическим ударением на не — например, как возражение кому-либо, кто утверждает, что это интересный фильм).

Предлагаем: Стороны считают, что Поставщик не несет ответственности за причинение ущерба имуществу Покупателя по неосторожности: 1) при оказании помощи по просьбе Покупателя в освобождении помещения для сборочно-монтажных работ в случае неготовности (неполной готовности) помещения; 2) при освобождении помещения для сборочно-монтажных работ в случае обнаруженной Поставщиком неготовности (неполной готовности) помещения даже при условии своевременного получения от Покупателя письма согласно п. ... Договора № ... о готовности помещения к поставке и монтажу.

Форма дверьми не является разговорной: дверьми и дверями равноправны. Форма зверьми находится за пределами современной нормы, правильно только зверями. Формы лошадьми и лошадями соответствуют норме, некоторые нормативные руководства форму лошадьми называют предпочтительной. Равноправными нормативными вариантами являются формы дочерьми и дочерями. Только окончание -ми соответствует норме в формах детьми и людьми. Творительный падеж на -ми встречается во фразеологических оборотах лечь костьми и бить плетьми.

Современная норма: преклонить голову ‘опустить голову в знак уважения’, приклонить голову (переносно) ‘найти приют’.

«Русский орфографический словарь» РАН под ред. В. В. Лопатина и О. Е. Ивановой (4-е изд. М., 2012) фиксирует: Апшеронский полуостров. Имеется в виду, конечно, полуостров в Азербайджане, ведь Апшеронский район Краснодарского края не находится на полуострове. Поэтому: Апшеронский район. Написание не менялось с советских времен, ср.: «Апшеронский полуостров, зап. побережье Каспийского моря; Азербайджанская ССР; Апшеронский район, Азербайджанская ССР» (Словарь географических названий СССР. 2-е изд. М., 1983).

Дать ответ о написании этого названия на английском языке, к сожалению, не можем. Мы отвечаем на вопросы по русскому языку.

Противоречия между этими правилами нет. В предложениях типа Он всем оказывал помощь советом, кто бы к нему ни обращался частица ни действительно входит в состав уступительного придаточного. В предложениях типа В нашей округе, пожалуй, нет никого, кто бы к нему не обращался за советом придаточное определительное. 

В названиях войн (как и вообще в названиях исторических эпох и событий, календарных периодов) с прописной буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные: Испано-американская война, Франко-прусская война, Русско-турецкая война 1877–1878, Война Алой и Белой розы, Война Севера и Юга. Во множественном числе написание с прописной буквы первого слова в большинстве случаев сохраняется: Греко-персидские войны, Итало-эфиопские войны,  Русско-турецкие войны, Балканские войны.

Что касается пункта В: слова первая, вторая пишутся с прописной в, если можно так выразиться, официальных названиях войн, напр.: Первая мировая война, Вторая мировая война. Название первая арабо-израильская война таковым не является, поэтому корректно его писать строчными (но с прописной – общепринятое собственное название Арабо-израильская война 1948–1949). То же касается второй греко-персидской войны: поскольку собственное название исторической эпохи – Греко-персидские войны, такие сочетания, как первая греко-персидская война, вторая греко-персидская война и под., представляется правильным писать строчными.

Вопрос сложный. Сочетание то что надо не зафиксировано в словарях фразеологизмов, в том числе в «Тезаурусе русских идиом» под ред. А. Н. Баранова и Д. О. Добровольского (М., 2018). В этом словаре, как и в «Большом толковом словаре», содержится лишь устойчивое сочетание что надо. При этом сочетание то что надо (нужно) явно находится в процессе фразеологизации. Таким образом, есть основания не ставить запятую в сочетании то что надо в значении 'лучший' (а в Ваших примерах оно действительно имеет такое значение), но есть и основания для её постановки. 

В прессе обычно используется вариант Южная Корея – так широкому кругу читателей яснее, о какой стране идет речь.

Если заголовок набран прописными буквами, то и окончание следует набирать прописными (как в первом варианте). Именно аббревиатуру МИД в письменной речи лучше не склонять, ее склонение носит разговорный характер.