Да, название при словах городской округ обычно не склоняется: городского округа Донецк. Несклонение можно объяснить тем, что городской округ — сочетание не из живой речи, а из документов, из канцелярско-бюрократического языка. Ср.: города Донецка — со словом город склонение совершенно нормально и естественно.
Без родовых слов (село и город) оба названия склоняются как существительные мужского рода второго склонения: Ларьяка, Нижневартовска, Ларьяку, Нижневартовску и т. д.
Село Ларьяк с родовым словом не склоняется: села Ларьяк, селу Ларьяк. А город Нижневартовск склоняется: города Нижневартовска, городу Нижневартовску и т. д.
Вы привели два графических варианта одного и того же имени собственного (наименования города). Различие вариантов заключается в гласных буквах е и ё, взаимозаменяемость которых предопределена факультативным употреблением буквы ё (о чем сообщается в «Правилах русской орфографии и пунктуации», изданных еще в 1956 году).
В русском литературном языке существуют соотносительные пары предлогов в — из и на — с: в городе — из города, на улице — с улицы. С существительным министерство сочетается предлог в (верно в министерстве, а не «на министерстве») — соответственно, верно из министерства.
Согласно Федеральному конституционному закону от 21 марта 2014 года № 6-ФКЗ «О принятии в Российскую Федерацию Республики Крым и образовании в составе Российской Федерации новых субъектов – Республики Крым и города федерального значения Севастополя», в составе Российской Федерации образуются новые субъекты – Республика Крым и город федерального значения Севастополь.
Некоторые слова имеют особое сокращение формы множественного числа, в котором последняя или единственная согласная буква удваивается, например: вв. (века), гг. (годы, города, горы, господа), пп. (пункты), апп. (апостолы), вмцц. (великомученицы), мчч. (мученики). Однако подобное сокращение формы улицы не употребляется. Рекомендуем не сокращать, а использовать полную форму слова.
Корректно: на континенте Америка. Географическое название в функции приложения не склоняется, если род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают: на реке Енисей, у реки Хопёр, в деревне Парфёнок (однако это замечание не относится к сочетаниям со словом город, поэтому правильно: в городе Туле, из города Москвы).
Можно провести аналогию с самым, пожалуй, известным туристическим маршрутом в России — Золотое кольцо. Название пишется без кавычек: путешествие по Золотому кольцу, города Золотого кольца. Но (с родовым словом): туристический маршрут «Золотое кольцо». Аналогично: путешествие по Государевой дороге, но туристический маршрут «Государева дорога».
Извините за задержку с ответом.
В справочниках нет особых указаний на случаи, когда несколько географических названий относятся к одному родовому слову. Поэтому рекомендуем склонять по общим правилам: Интернет теперь появился в селах Золотая Грива и Серебрянском Чулымского района, Чингис Ордынского района, Соколово Колыванского района и Ильинка Доволенского района.
