Распространенные приложения, стоящие после определяемого слова — существительного или местоимения, а также отделенные от них другими членами предложения или относящиеся к отсутствующему члену предложения, обособляются запятыми.

В данном случае слова собака такая выступают в роли приложения. Поэтому верно: Зуб болит, собака такая.

Предлагаем оформить так: Он сначала возмущался, вроде «Да что ты понимаешь!», а потом соглашался. Или так: Он сначала возмущался: «Да что ты понимаешь!», а потом соглашался. 

В таких случаях сказуемое находится в форме ед. ч. и согласуется с ближайшим подлежащим: На его гербе была не шпага и не корона, а белка. Сравним примеры из параграфа 190 «Справочника по правописанию, произношению, литературному редактированию»: Меня угнетала не боль, а тяжелое, тупое недоумение (Горький); Опубликован роман, а не повесть, Опубликован не роман, а повесть; Это была не разведка, а настоящее сражение.

Вернее — вводное слово, оно выделяется запятыми. В данном случае оно не отделяется запятой от союза а, но вторая запятая все равно нужна: Это путь саморазвития Троцкого, а вернее, Бронштейна.

Да, названия городов и стран могут употребляться во множественном числе. Такое употребление возможно, когда речь идет, например, о нескольких населенных пунктах с одинаковым названием (в двух Санкт-Петербургах – российском и американском), а также в переносном значении, если имеются в виду разные стороны жизни одного города, одной страны (в этом смысле вполне возможно: две Москвы, три России и т. д.; у Маяковского есть стихотворение «Две Москвы», где одна – старая, дореволюционная, вторая – новая, советская). Что касается согласования с числительным пять, то образование формы родительного падежа мн. числа существительного Москва затруднительно. Если есть потребность в подобном сочетании, можно сказать, например, пять городов с названием Москва.

Если вопрос о том, каким членом предложения является союз а, то никаким: служебные слова (предлоги, союзы, частицы) не выполняют таких функций. Если вопрос о семантике союза, то он здесь выражает сопоставительные отношения.

Разница в написании связана с тем, что барокко — название художественного стиля, а Возрождение — название целой исторической эпохи (периода в культурном и идейном развитии ряда стран Европы XIV—XVI веков, для которого было характерно обращение к гуманистическому мировоззрению, идеалам красоты и гармонии античной культуры).

Если фамилия Королева прдставляет собой не притяжательное прилагательное с суффиксом -ев-, а существительное (что возможно, хотя и сомнительно с учетом традиции образования русских фамилий и употребления буквы Е вместо буквы Ё), то такая фамилия должна склоняться по образцу существительных типа мама: Королевы, Королеве и т. п.