Правило выбора падежа просто: прямое дополнение ставится в форму винительного падежа при отсутствии отрицания (...что делает каждый), а в случае, если при глаголе, управляющем прямым дополнением, имеется отрицание, винительный падеж заменяется родительным. Именно так и сделано в предложении, которое фигурирует в вопросе.

В последнее время в публичной речи наблюдается тенденция к "отдельности" предлога, он во многих случаях стал произносится с небольшой паузой между предлогом и знаменательным словом. Это объясняется не фонетическими, а грамматическими причинами. М. В. Панов называл такого рода явления "сигналами отдельнословности".  

В конструкциях с составными числительными, оканчивающимися на два, три, четыре, винительный падеж сохраняет форму именительного независимо от категории одушевленности. Верно: освободить 24 моряка.

Однако это правило распространяется на сочетания с глаголами, требующими винительного падежа.

Отглагольное существительное освобождение требует родительного падежа (освобождение чего?). Поэтому верно: освобождение 24 моряков.

Существительное, относящееся к глаголу с отрицанием, может иметь форму родительного или винительного падежа, например: не прочитал этой статьи – не прочитал эту статью. В одних случаях тот или иной падеж является предпочтительным, а в других существует равная возможность употребления как родительного, так и винительного падежа. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».

О падеже:  нужен творительный падеж (музеем). Слова заведующий, управляющий, командующий и т. п., по своему происхождению являющиеся причастиями, управляют творительным падежом.

Что касается рода, то мужской род уместен в строгой деловой речи (в приказе: назначить заведующим музеем Иванову...). В обиходной письменной и тем более устной речи верно: заведующая музеем.

Форму родительного падежа Помпеев рекомендуют «Словарь собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко и «Словарь трудностей русского языка для работников СМИ» М. А. Штудинера. Однако в «Грамматическом словаре» А. А. Зализняка указано, что название Помпеи склоняется по образцу слова статуя во множественном числе. Т. е. по Зализняку родительный падеж – Помпей.

Если это вопрос о падеже, здесь действительно необходим творительный падеж прилагательного или причастия. В подобных конструкциях прилагательное или причастие (при котором могут быть зависимые слова) находится в двойной зависимости: в падеже — от глагола, в числе и роде — от существительного: Они вешают флаг обращенным вверх (какой-либо частью); Знамя повесили перевернутым.

Правильно, как Вы верно указываете, на берегу. В русском языке есть несколько существительных второго склонения с таким окончанием в предложном падеже со значением места. Ср.: о береге - на берегу, о носе - в носу, о саде - в саду. Падеж один и тот же, окончания (в зависимости от значения падежа) - разные.

Вариант приняли в клуб 144 детей теоретически возможен, он будет означать: приняли кого-либо в клуб 144 детей. Если нужно указать, что 144 ребенка были приняты в клуб, правильно: приняли в клуб 144 ребенка. В конструкциях с составными числительными, оканчивающимися на два, три, четыре, винительный падеж сохраняет форму именительного независимо от категории одушевленности.