После значит нужна запятая. Подробно об этом см. в "Справочнике по пунктуации".
См. ответ № 227931.
Вторая запятая нужна: Наталия Тарасова, научный сотрудник Иркутского областного художественного музея им. В. П. Сукачёва, расскажет о цифровом искусстве, мировых трендах в этом направлении. Обособляется приложение научный сотрудник Иркутского областного художественного музея им. В. П. Сукачёва, стоящее после определяемого слова.
Приложения, стоящие после определяемого слова, разделяются запятой: Иванов И. И., заведующий кафедрой технологий учреждения образования МГУ им. М. В. Ломоносова, доктор физ.-мат. наук, доцент.
Указанная запятая нужна для обособления придаточного предложения.
Это предложение с прямой речью внутри авторских слов. Правилен первый из приведенных Вами вариантов: Ирина взглянула на дверь: «Ну, кошка! Опять разодрала её?» — и отвела взгляд, стараясь не кипятиться.
Действительно, точка после сокращения км (километр) не нужна.
Есть еще несколько случаев, когда после согласных пишется э. Это написание после приставок или составных частей сложных и сложносокращенных слов (предэкзаменационный, сэкономить; двухэтажный, Мосэнерго); написание во многих собственных именах иноязычного происхождения и производных от них словах (Бэкон, Дэвид, Сэлинджер; Мэриленд, Тайбэй, Улан-Удэ, Хуанхэ). Кроме того, э пишется в названиях букв (бэ, вэ, гэ и др.), в составе аббревиатур, пишущихся по названиям букв, и слов, образованных от буквенных аббревиатур, напр.: бэтээры, кавээнщик, гэпэушник, кагэбэшный, в звуковых аббревиатурах и образованных от них словах, напр.: ГЭС, ТЭЦ, ВТЭК, НЭП, втэковский, нэпман.
Но в целом закономерность, о которой Вы говорите, существует. По нормам русской орфографии не в начале корня после букв, передающих твердый согласный, в словах иноязычного происхождения, как правило, пишется буква е (бизнес, бренд, коттедж, партер, стенд, инерция); буква э пишется только в немногих нарицательных существительных, таких как мэр, мэтр, пленэр, пэр, рэкет, рэп, сэр и некоторых других словах (преимущественно узкоспециальных), их круг определяется орфографическим словарем.
