Устойчивое сочетание ни сном ни духом пишется без запятой.

Глагол женихаться в русском языке обычно используется без предлога, однако употребление его с предлогом с также встречается, например: Женился ли Иван на той девушке, с которой женихался [О. П. Семенова-Тян-Шанская. Жизнь «Ивана». Очерки из быта крестьян одной из черноземных губерний (1885-1906)]. 

Тире ставится перед сказуемым, присоединяемым к подлежащему словами вот, это.

Тире ставится при выражении и подлежащего, и сказуемого (или только подлежащего, или только сказуемого) инфинитивом.

По этим двум правилам тире в указанном предложении ставится.

Запятая не нужна. Ни тот ни другой – устойчивый оборот с повторяющимся союзом, внутри таких конструкций запятая не ставится. Ср.: и день и ночь; и смех и горе; и стар и млад; и так и этак; и там и сям; и туда и сюда.

Определение или уточняющий оборот.

Первая запятая не нужна, две следующих нужно поставить для обособления вводного.

Обороты с предлогом в связи могут обособляться, но чаще в середине предложения (подробнее см. в "Справочнике по пунктуации"). Обстоятельство по вашим пожеланиям не обособляется. Таким образом, указанная запятая не нужна.

В параграфе 53 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина указано, что если определяемое слово (нарицательное существительное) уже имеет впереди стоящие согласованные определения, то несогласованные определения, выраженные существительными в форме косвенных падежей с предлогами, обособляются: маленькая монетка, размером с ноготь... Кроме того, в этом сочетании несогласованное определение уточняет согласованное.

Термин околонулевой встречается в научных текстах начиная с 60-х годов ХХ века. Околонулевые области, фазы и температуры — эти и другие словосочетания используются специалистами в разных областях знания. И прилагательное, и обороты с ним совершенно корректны.