Не очень понятно, что Вас смущает. О времени 1 минута 02 секунды говорят вторая минута, о времени с 90-й по 99-ю минуту говорят на девяностых минутах. Годы с 1990-го по 1999-й вполне закономерно называют девяностыми.  

Верно: Добрый день! Хотелось бы найти девушку, которая сегодня (17.02) занималась в зале Metrofitness примерно с 8:00 до 9:40. Рыженькая, была одета в черные легинсы и черную футболку, ростом примерно 1,67 м. Сегодня у нее был «день ног». Приехала на серебристой Toyota WiLL Cypha, если не изменяет память, номер K509MB.

Кавычки не нужны. 

Запятая не нужна: Приглашаем вас на концерт проекта Quatro musician, который пройдёт в Самарской областной библиотеке (пр. Ленина, 14а) 18 августа в 18:30.

Правильно: 22 июня стало Днем памяти и скорби. 22 июня – это двадцать второе число месяца июня, поэтому согласование по среднему роду – со словом число. Но: день 22 июня стал...

Нормативными орфографическими словарями современного русского языка это слово не зафиксировано, однако оно есть во многих словарях жаргона и разговорной речи, где дано преимущественно в раздельном написании: на крайняк, в знач. нареч. 'на крайний случай'.

Слитность/раздельность написания наречий и наречных сочетаний представляет собой известную проблему. Однако один из критериев раздельности написания таков: наличие наречий и наречных сочетаний, в составе которых имеется иная предложно-падежная форма существительного, от которого образовано наречие. Например, раздельно пишутся наречные сочетания под мышками (так как есть еще и из-под мышек, под мышку, под мышкой) или с ходу (ср. на ходу, по ходу). Кроме наречного сочетания на крайняк, в разговорной речи имеются употребляемые в том же значении выражения в крайняк и по крайняку. Поэтому, на наш взгляд, орфографическим тенденциям отвечает именно раздельное написание распространенного выражения на крайняк.

Корректно: количество заявок, не закрытых по техническим причинам.

Сокращение чел. (человек) пишется с точкой.

Написание сокращения сут. (сутки) с точкой зафиксировано в «Русском орфографическом словаре» РАН, хотя согласно ГОСТу (см. «Сокращение слов и словосочетаний по ГОСТ Р 7.0.12-2011») это сокращение должно быть написано без точки. Видимо, можно дать такую рекомендацию: при составлении документов, технических текстов следовать ГОСТу, а в обычной письменной речи оформлять эти сокращения так, как рекомендовано орфографическим словарем.

Верен второй вариант, прилагательное с существительным согласуется: в количестве 2,33 (двух целых тридцати трех сотых) календарного дня.

Опечатки нет. Официальное название государства – Федеративная Республика Германия. См. также ответ на вопрос № 244571.