Если неологизм трибьют (от англ. tribute в значении «дань уважения») употребляется для обозначения творческой акции, посвященной, в частности, известному музыканту или группе, то форма дательного падежа имени собственного в сочетании с этим словом представляется корректным грамматическим выбором. У формы дательного падежа значение адресованности — одно из распространенных и при этом конкретных. Форма родительного падежа имени собственного не вносит подобной ясности в высказывание. Более того, значение принадлежности, характерное для формы родительного падежа (песня исполнителя, композиция группы), может стать причиной искаженного толкования сочетания имени собственного с обсуждаемым неологизмом.

Высказывание построено корректно. Слово последний, отсылающее к слову трапеция, используется в зафиксированном в словарях значении 'такой, который был назван, упомянут после всех остальных или в конце какого-либо перечисления'. Такое употребление слова последний имеет книжный характер и преследует цель избежать повтора того или иного слова. Слово полусумма не приведено в словарях потому, что значение подобных, однотипно построенных слов с повторяющейся первой частью выводится из значения составляющих их частей, которые в словарях даны. Например, о компоненте полу- в словаре сказано, что он вносит значение  'половина чего-либо'.

Союз то ли... то ли... употребляется для выражения альтернативности, поэтому он должен соединять сопоставимые (в том числе и в грамматическом смысле) части высказывания: то ли пришел, то ли не пришел; то ли Вася, то ли Петя; Они то ли приедут, то ли не приедут; То ли они приедут к нам, то ли мы к ним. Изменение порядка слов в предложениях типа То ли он пойдет в кино, то ли останется дома характеризует высказывание как сугубо разговорное. Разговорный характер имеет и конструкция То ли они боялись убивать, то ли оказаться убитыми.

В правилах русской пунктуации нет утверждения, что глаголы-сказуемые в разной форме, относящиеся к одному и тому же подлежащему, не считаются однородными членами предложения. В приведенном примере два глагола в изъявительном наклонении — один в прошедшем (внедрили), другой в настоящем (надеемся) времени относятся к одному подлежащему (мы), поэтому запятая перед союзом и не нужна. Добавим, что, поскольку глаголы не только стоят в разных формах времени, но и имеют разнородную семантику (внедрили — действие, надеемся — чувство), высказывание уместно разделить на два предложения, не используя союз и: Совсем недавно мы внедрили в наш продукт новые возможности. Надеемся, что они порадуют пользователей!

Не уверены, что мы верно поняли вопрос, но попробуем ответить. Запятая перед причастным оборотом (лебедь, упавший в воду) ставится как и перед любым постпозитивным определением (лебедь, мертвый, упал в воду). Дело в том, что обычное (нейтральное) место определения в русском языке — перед определяемым словом (Она надела короткое красное платье), поэтому перемещение определения в позицию после определяемого слова (Она надела платье, короткое, красное) по-иному акцентирует высказывание, что на письме выражается обособлением при помощи запятых. Деепричастный оборот выделяется потому, что деепричастие — это форма глагола, то есть, по сути, дополнительное сказуемое. Ср.: Монета покатилась, звеня и подпрыгивая — Монета катилась, звенела и подпрыгивала.

Разговорное сочетание значит так (значится так) приведено в качестве цельной вводной единицы в справочнике «Трудности русской пунктуации. Словарь вводных слов, сочетаний и предложений» О. А. Остроумовой и О. Д. Фрамполь (М., 2009). Рассматривать сочетание именно таким образом правомерно, потому что его функция отличается от функции слова значит, используемого в качестве вводного. Слово значит в таком употреблении служит для связи предложений, сигналом вывода, тогда как сочетание значит так служит для привлечения внимания. Контекст, приведенный в вопросе № 327143, указывает именно на эту функцию. В вопросе № 289683 приведено самостоятельное высказывание Значит, так! без какого бы то ни было контекста. Вполне закономерно в этом случае усмотреть у слова значит функцию сигнала вывода и рекомендовать отделить его запятой.

1. Тире в предложении Кто эти люди — расскажем в статье корректно.
2. В контексте перечисления групп людей названия этих групп можно оформить в отдельные предложения, как именительный темы: Люди, которых отозвали из отпуска. Неизрасходованные дни отдыха могут дополнить отпуск в грядущем рабочем году либо использоваться в удобное время в текущем году.
3. Определение согласуется с существительным родителей. Пунктуация аналогична п. 2: Один из родителей, воспитывающих несовершеннолетнего ребенка-инвалида. Право на отпуск имеется вплоть до дня наступления совершеннолетия ребенка.
4. Высказывание нужно отредактировать, построив аналогично приведенным в п. 2 и 3: Один из родителей, работающих в районах Крайнего Севера. Право на отпуск имеется для сопровождения ребенка (до 18 лет), поступающего в учебное заведение в другой местности.

Сочетание и ещё в начале предложения часто используется как наречие со значением 'дополнительно, вдобавок' и сигнализирует о переходе к другой мысли: Я не знаю, хорошо это или плохо... Это моя форма существования. И ещё я люблю бывать дома. Токарева (Р. П. Рогожникова. Словарь сочетаний, эквивалентных слову. М., 2003. С. 168) — в этом случае оно не требует постановки знаков препинания. Но это сочетание может представлять собой высказывание, произносимое с интонацией законченности и имеющее значение 'И ещё я скажу вот что'. В этом случае уместно оформить его как самостоятельное предложение либо как часть бессоюзного сложного предложения с двоеточием, выражающим изъяснительные отношения: И ещё. Не надо писать в эту группу; И ещё: не надо писать в эту группу.

По замыслу авторов, ответ, возможно, должен сводиться к тому, что здесь прощай — глагол, главный член определенно-личного предложения, поскольку всё упражнение нацелено на выявление учениками именно таких предложений. Но на самом деле прощай(те), конечно, давно не глагол, а междометие — так же, как и здравствуй(те). В парадигму словоизменения глагола прощать это междометие не входит: у глагола другое значение (ср. Всегда прощай своим близким мелкие прегрешения). Поэтому разумнее расценить включение в упражнение этого фрагмента как ловушку — и объяснить ученикам, что прощай было определенно-личным предложением в незапамятные времена (задолго до Пушкина!), а затем, в результате регулярного употребления в качестве формулы прощания, отделилось от глагола и превратилось в междометие.

Попутно можно дать школьникам и представление о том, что не всякое высказывание опирается на грамматическую модель предложения.