Для постановки запятой между сказуемым вышла и обстоятельством цели вынести (так называемым целевым инфинитивом) нет оснований, поэтому правильно без нее: Вышла из дома в ночь вынести мусор. Впрочем, в условиях контекста сочетание вынести мусор можно счесть присоединительной конструкцией, которая содержит попутное замечание, дополнительную информацию; в таком случае ставится тире: Вышла из дома в ночь — вынести мусор.

При цитировании указать источник нужно в любом случае. Использование слов того или иного автора, выступающего и т. д. в качестве эпиграфа к статье определяется соображениями уместности; это решает автор статьи. Эпиграфы обычно пишут без кавычек, а ссылку на источник дают без скобок:

Нам потребуются квалифицированные кадры, инженеры, рабочие, готовые выполнять задачи нового уровня.
В. В. Путин

1. Подписи к иллюстрациям пишутся с прописной буквы.

2. Видимо, речь в вопросе идет об оформлении перечней? Подробные правила изложены в "Справочнике издатателя и автора" А. Э. Мильчина и Л. К. Чельцовой. Один из вариантов:

На согласование заказчику должны представляться:

— лист утверждения подлинника документа в двух экземплярах;

— подлинник документа;

— акт экспертизы, первый экземпляр.

В этом предложении написание (не)важно зависит от контекста и намерений автора. Слитное написание (неважно) используется, если автор намерен подчеркнуть незначительность, отсутствие важности чего-то. Раздельное написание (не важно) подходит, если автор намерен подчеркнуть отрицание важности, например в контексте возражения или противопоставления. См. параграф 149 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

Это не вводная, а вставная конструкция, которая содержит дополнительную информацию. (Вводные конструкции выражают отношение говорящего к сообщаемому или указывают на источник информации.) Вставные конструкции выделяются скобками или парными тире: Однажды (было это в конце мая) мы сидели на крыльце и ожидали ужина; Однажды — было это в конце мая — мы сидели на крыльце и ожидали ужина.

Исчерпывающего списка слов и сочетаний, которые могут быть вводными или выполнять функцию обстоятельств в зависимости от решения автора, в доступных нам источниках не приводится. Очевидно, его составление — непростая исследовательская задача, требующая анализа большого массива текстовых данных. По предварительным подсчётам, список будет включать более двухсот единиц. Описание многих из таких слов приведено в «Справочнике по пунктуации» — с ним рекомендуется сверяться в каждом сомнительном случае. 

Если в предложениях 1, 2 и 3 приведены мысли одного и того же лица, то следует устранить непоследовательность в пунктуационном оформлении: либо весь фрагмент (полностью, не по одному предложению) заключить в кавычки, либо оформить без кавычек, как несобственно-прямую речь.

Обратите внимание, что после прямой речи перед словами автора перед тире ставится запятая: «Это синдром Фримена ― Шелдона», ― наконец пишет кто-то в комментариях.

Мы рекомендуем следовать орфографическим источникам. Пробел после точки в сокращениях однозначно указывает на то, что сокращено сочетание слов. Эта норма не облечена в форму правила, но примеры указывают на необходимость пробела однозначно. Чтобы убедиться в этом, можно обратиться к «Правилам русской орфографии и пунктуации» 1956 года и 2006 года, к «Справочнику издателя и автора» А. Э. Мильчина и Л. К. Чельцовой. 

Согласно «Русской грамматике» (М., 1980) управление – это подчинительная связь, которая выражается присоединением к главенствующему слову существительного в форме косвенного падежа (без предлога или с предлогом); примыкание – это связь, при которой в роли зависимого слова выступают неизменяемые слова: наречие, неизменяемое прилагательное, а также инфинитив, компаратив или деепричастие. Если исходить из этих определений, то неизменяемые имена существительные в приведенных сочетаниях управляются главным словом.

Помочь нам ответить на Ваш вопрос мы попросили С. В. Друговейко-Должанскую, старшего преподавателя кафедры русского языка филологического факультета СПбГУ, члена Совета по русскому языку при Президенте Российской Федерации, члена Совета по культуре речи при губернаторе Санкт-Петербурга. Светлана Викторовна назвала предпочтительным вариант Старо-Невский. Такое написание встречается в том числе в книгах Н. А. Синдаловского, российского писателя, автора более 20 книг по истории Санкт-Петербурга.