Использовать кавычки не обязательно, если их отсутствие не будет мешать пониманию смысла текста.
Оба глагола возможны. Правда, принято говорить не писать упражнения, а выполнять (делать) упражнения.
Это не так. Употребление слова ложить по-прежнему считается недопустимым в речи грамотного человека.
Неопределенная форма глагола, отвечает на вопрос что делать?. См. также в Правилах (§ 73).
Поставить укол – профессионализм, характерный для речи медиков. Общеупотребительно и стилистически нейтрально: делать укол.
Запятая разделяет части сложного предложения (здесь "что" - самостоятельное неполное предложение, "что будем делать").
Глаголы проводить и производить в значении «осуществлять, выполнять, делать, совершать (какие-л. действия, работу)» синонимичны.
Дмитрий Николаевич Ушаков пишет справедливые вещи: ложить - это просторечие. Литературная норма: класть, положить.
Слова кованый и жёваный являются отглагольными прилагательными, образованными соответственно от глаголов ковать и жевать.