Оба варианта возможны. Употребительнее: на следующий день.

Вы написали правильно.

В этом предложении сравнительный оборот играет роль сказуемого, знаки препинания не требуются: День без новостей как стройка без фундамента.

Нет необходимости заключать слово выпускной в кавычки и писать его с прописной буквы. Употребление предлога корректно. 

Для ответа на этот вопрос нужен более широкий контекст. Само по себе соседство слов только поскольку возможно, ср.: ...В создании героев романа или трагедии огромную роль играет пережитое автором, им осознанное — ведь внутренний мир других людей понятен писателю, только поскольку ему знакомы и, следовательно, понятны те или иные страсти. И. Эренбург, Люди, годы, жизнь. Лужиным он занимался только поскольку это был феномен, — явление странное, несколько уродливое, но обаятельное, как кривые ноги таксы. В. Набоков, Защита Лужина.

В этом заголовке слово путешествуя совершенно точно является деепричастием: оно называет дополнительное действие по отношению к основному действию, названному глаголом жить. При этом есть правило, согласно которому деепричастный оборот не обособляется, если он тесно связан по содержанию со сказуемым и образует смысловой центр высказывания, например: Жили Артамоновы ни с кем не знакомясь (М. Г.), Старик шёл прихрамывая на правую ногу и т.  п. Однако заголовок Жить (,) путешествуя не представляет собой предложения, и оценить, образует ли деепричастие смысловой центр высказывания, здесь едва ли возможно. Это аргумент в пользу постановки запятой. Сравним пример предложения, в котором деепричастие играет особую коммуникативную роль и не обособляется: Это здорово — жить путешествуя!

См. ответ на вопрос № 253675.

Правильная орфография и пунктуация в этом предложении: Каждая совершенная ребенком покупка через 10 секунд отобразится в СМС-сообщении, которое придет на телефон родителя. Но плохо: покупка... отобразится в сообщении. Попробуйте перестроить фразу. Возможный вариант: Через 10 секунд после совершения ребенком покупки на телефон родителя придет СМС-сообщение.

Ваша фамилия должна склоняться. По нормам русской грамматики склоняются все мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный (кроме фамилий на -ых типа Черных, Седых). Несклонение мужской фамилии Роот ошибочно.