Следует склонять мужскую фамилию: Вахния, Вахнию, Вахнием и т. д.
Оба варианта возможны: в Панино и в Панине, но: в селе Панино.
См. также: Как склонять географические названия?
Фамилия склоняема.
Эту фамилию склонять не только можно, но и нужно. Правильно: Вежновеца и Вежновца Дмитрия (предпочтительный вариант определяет обладатель фамилии).
Специального правила для венгерских имен нет. Есть общие справочные рекомендации:
Особенности склонения фамилий и личных имен
Словарь имён собственных
Мужские и женские фамилии на -ых, -их не склоняются: закрепить автомобиль за Ярных.
Противоречия нет. Приложения – названия городов изменяются по падежам, названия поселков не склоняются.
Вы написали верно: название поселка не нужно склонять, если оно располагается после родового наименования (после слова поселок).
Возможны оба варианта, но предпочтительно склонение без выпадения гласного: Украинецу.
Название надо склонять. Написание родился в городе Москве возможно в канцелярской речи. Но лучше написать: родился в Москве.
