Правительство, администрация, министерство пишутся с прописной буквы в официальных названиях руководящего органа исполнительной власти государства (а также республик – субъектов Федерации), например: Правительство Российской Федерации, Правительство Республики Дагестан, Правительство Удмуртской Республики, Администрация Президента РФ, Министерство иностранных дел РФ. Но: правительство Москвы, правительство Иркутской области, федеральное правительство, администрация Иркутской области.

Название должности министр пишется со строчной буквы (в том числе и в официальных документах).

В этом фрагменте действительно есть подчинительная связь, выраженная союзом чтобы; главная часть сложноподчиненных предложений с этим союзом неполная: Иногда [им приходится включаться в судьбы людей], чтобы помочь. Иногда [им приходится включаться в судьбы людей], чтобы поддержать. Подобные случаи не описаны в имеющихся справочниках. Единственный пример, похожий на Ваш, находим в справочнике по пунктуации Д. Э. Розенталя, в параграфе 38.2: Одни спрашивают, почему произошла задержка с решением вопроса, другие — почему он вообще возник, третьи — отчего попутно не рассматриваются и остальные вопросы. Как видим, неполнота главной части — условие постановки тире. Очевидно, в приведенном Вами фрагменте предпочтительно тире: Им приходится включаться в судьбы людей. Иногда — чтобы помочь. Иногда — чтобы поддержать. Впрочем, утверждать, что постановка запятой в этом случае ошибка, было бы слишком категорично.

В данном случае нужно поставить двоеточие.

В этом предложении следует использовать оборот не представляется возможным. Выбор глагола представляться обусловлен смыслом предложения: как представляют себе ситуацию авторы текста, возможность выполнить обсуждаемое действие отсутствует. Выражения предоставлять возможность, не предоставляется возможности синонимичны оборотам дать возможность, не дается возможности, а следовательно, подразумевается совершенно иная по своей сути ситуация (вполне вероятно, такая, когда кто-то в состоянии содействовать организации нужной работы).

Пришлось ждать - это главный член предложения, к нему не ставятся вопросы.

Написание зависит от смысла: Так же можно (=таким же способом, как описывалось ранее, т. е. самостоятельно, прочитав информацию в интернете) и Также можно (=а еще можно...).

Корректно со строчной: по московскому времени. О написании телефонных номеров см. в «Письмовнике».