Фамилия Подорожний склоняется следующим образом: - Именительный падеж (кто? что?) - Подорожний. - Родительный падеж (кого? чего?) - Подорожнего. - Дательный падеж (кому? чему?) - Подорожнему. - Винительный падеж (кого? что?) - Подорожнего. - Творительный падеж (кем? чем?) - Подорожним. - Предложный падеж (о ком? о чём?) - о Подорожнем.  

Если это вопрос о падеже, здесь действительно необходим творительный падеж прилагательного или причастия. В подобных конструкциях прилагательное или причастие (при котором могут быть зависимые слова) находится в двойной зависимости: в падеже — от глагола, в числе и роде — от существительного: Они вешают флаг обращенным вверх (какой-либо частью); Знамя повесили перевернутым.

В современном русском языке падежей действительно шесть. Вот выдержка из «Русской грамматики»:
Категория падежа представлена шестью рядами форм, каждая из которых является носителем определенного комплекса категориальных морфологических значений. Эти ряды обозначаются как 1) именительный падеж, 2) родительный падеж, 3) дательный падеж, 4) винительный падеж, 5) творительный падеж и 6) предложный падеж.

В этом предложении причастие связано не только с определяемым именем Анну Николаевну (согласуется с ним в роде и числе), но и с глаголом-сказуемым заставала, который обусловил творительный падеж причастия (заставала (какой?) сидящей). Такая тесная связь со сказуемым препятствует обособлению причастного оборота (см. пункт 3 параграфа 18.2 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя). 

Падеж зависит от того, какая формулировка использована в начале документа. Если дополнительное соглашение заключили..., тогда далее корректно использовать именительный падеж: Колобкова Наталья Михайловна с одной стороны и Носова Марина Сергеевна с другой. Если документ начинается со слов дополнительное соглашение заключено между..., то корректно использовать творительный падеж: Колобковой Натальей Михайловной с одной стороны и Носовой Мариной Сергеевной с другой.
 

Согласно справчнику Д. Э. Розенталя, «обычно в этих случаях именительный падеж указывает на устойчивый признак предмета, на постоянно присущую ему качественную характеристику, а творительный падеж указывает на временный признак». То есть в данном случае предпочтительно: Людмила Васильевна была не просто учителем, но и исследователем, инженером, психологом, публицистом.

Однако это разграничение не всегда последовательно, и первый вариант также нельзя назвать полностью ошибочным.

Форма дверьми не является разговорной: дверьми и дверями равноправны. Форма зверьми находится за пределами современной нормы, правильно только зверями. Формы лошадьми и лошадями соответствуют норме, некоторые нормативные руководства форму лошадьми называют предпочтительной. Равноправными нормативными вариантами являются формы дочерьми и дочерями. Только окончание -ми соответствует норме в формах детьми и людьми. Творительный падеж на -ми встречается во фразеологических оборотах лечь костьми и бить плетьми.

Уточняется, что "творительный" должен быть творительным лица (не любимый матерью ребенок) или орудия (не тормозимое воздухом движение). В этом случае есть основания считать соответствующие слова причастиями, а не прилагательными, и писать их раздельно с НЕ.

Слово непередаваемые в сочетании непередаваемые словами Д. Э. Розенталь относит к числу отглагольных прилагательных, которые пишутся слитно с НЕ, как раз по причине отсутствия явно выраженного "инструментального" значения творительного падежа у слова словами.

После числительных двадцать (тридцать, сорок и т. д.) два, двадцать три, двадцать четыре, если эти числительные стоят в форме именительного или винительного падежа, невозможно употребить слово сутки. Эти числительные требуют после себя форму родительного падежа единственного числа, а слово сутки форм единственного числа не имеет. Поэтому, если стоит задача соблюсти грамматическую правильность, необходимо перестраивать фразу (как, например, это сделано в заданном вопросе) или менять падеж числительного на родительный, дательный, творительный или предложный: время работы равно тридцати четырем суткам, работа продолжается в течение тридцати четырех суток и т. п.