Слово день тут ни при чем. Непроизносимый согласный в словах праздник, праздничный можно проверить краткой формой исторически родственного им прилагательного праздный 'не занятый делом, работой': празден. Но в школьной практике праздник чаще дается как словарное.
В этих сочетаниях используются формы дательного падежа (по кому-чему).
Гласная проверяется: суета суЕт.
Постараемся.
Мы можем встретиться в два часа, после обеда.
После русских приставок, кончающихся на согласный (кроме приставок сверх- и меж-), пишется ы.
В данном случае в приставке с- нет необходимости, лучше использовать глагол интегрироваться (он может отвечать и на вопрос "что делать?", и на вопрос "что сделать?").
См. в «Справочнике по фразеологии».
Такую проверку можно назвать исторической, так как указанные Вами слова не являются в современном русском языке однокоренными, но они исторически родственные. См. об этом здесь.
Можно использовать оба предлога, в данном случае они синонимичны.
Указанные запятые нужны для выделения причастного оборота.
