См. в учебнике С. Г. Бархударова «Правила русской орфографии и пунктуации».
Поставленная Вами запятая нужна. Стилистически фраза неудачна (сочетание "не поступали связью").
Здесь "и не" = "ни". Ср.: ни бог, ни царь, ни герой; ни бог, и не царь, и не герой; ни бог, ни царь и не герой.
Нужно поставить тире: страны – члены ООН. Корректно: для достижения поставленной цели.
Второй вариант предпочтителен.
Написание зависит от контекста. Ср.:
- У нас простые правила: не пить, не воровать.
- Ну и правила у них: нельзя ни пить, ни воровать.
Запятая нужна. Пропуск запятой при двукратном повторении союза возможен только в случае употребления союза и (например: Кругом было и светло и зелено); в сочетаниях с союзом ни... ни... запятая не ставится только тогда, когда сочетание фразеологическое: ни то ни сё, ни себе ни людям и т. п. См. об этом параграф 26 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.
Обособление не требуется. Молодые вон институты пооканчивали, а все равно остались здесь...
Сочетание как ни в чем не бывало не требует обособления: Девушка как ни в чем не бывало широко улыбается.
