Слова в редких случаях не являются вводными. Они могут никак не обособляться, но, если автору текста важно выделить эти слова, обратить на них внимание читателя или оформить их как попутное примечание, он вправе поставить запятые, тире или скобки: они лишаются наград, премий и, в редких случаях, работы; они лишаются наград, премий и – в редких случаях – работы; они лишаются наград, премий и (в редких случаях) работы. Словом, здесь решение – за автором текста.

В тех названиях городов, где компонент Сити по-русски пишется, он пишется с прописной буквы: Атлантик-Сити, Канзас-Сити, Кесон-Сити. Но Mexico City, New York City по-русски называются Мехико, Нью-Йорк.

Мехико и Мексика по-испански называются одинаково: México. Неодинаковое написание в русском языке объясняется традицией.

Андрей Юрьевич, Вы не прислали текст вопроса. Вы можете прислать его на наш адрес электронной почты portal@gramota.ru

Поклажа – это груз, багаж, который человек может перенести или перевезти с собой (обычно в руках или тележке). Везти поклажу – везти такой груз, багаж.

Запятые нужны: Еще лет двести-триста назад проблема, как выбрать женские часы, была неактуальна. Но предложение лучше перестроить. Например: Еще лет двести-триста назад проблема выбора женских часов была неактуальной.

Предпочтительно: «Назад, - говорил маршал, - ни шагу». Однако можно использовать и вариант: Назад, говорил маршал, ни шагу. В справочнике Д. Э. Розенталя «Справочник по русскому языку. Пунктуация» о подобном случае говорится: если высказывание говорящего передается приблизительно (тем самым утрачивается характер прямой речи).

Дело не только в расстановке запятых, само предложение построено неправильно. Возможные варианты правки: Он был отправлен на правах аренды в Милан, и многим казалось, что он никогда не вернется назад.  Он был отправлен на правах аренды в Милан и, как кажется многим, никогда не вернется назад.

В таком взятом без контекста предложении нет оснований для пропуска запятой перед деепричастным оборотом: Сделать это можно, нажав на кнопку. В контексте противопоставления, если деепричастный оборот составляет смысловой центр высказывания, запятую ставить не нужно, сравним: Сделать это можно нажав на кнопку, а можно — силой мысли. 

Допустимы обе формы глагола хватать (настоящего и прошедшего времени), но, если «созданная несколько лет назад организация» хотя бы отчасти решила проблему, лучше использовать форму прошедшего времени: Современной молодежи, которая порой сутки напролет проводит в гаджетах, явно не хватало подобной активности. Поэтому несколько лет назад была создана организация...