Пединститут пишется через И. Подынститут – правовой термин, например: институт брака и подынститут заключения брака.

В академическом орфографическом словаре зафиксировано слово консумация в значении, связанном со стимулированием спроса. У него есть родственник – консумент 'потребитель товаров и услуг'. Слово, относящееся к браку, лингвистическими и общими энциклопедическими словарями не фиксируется, норма его написания не установлена. Этот термин и образованное от него прилагательное в текстах встречаются редко и пишутся как с одним, так и с двумя м.

Да. Предлоги не могут выступать как самостоятельные члены предложения, однако они употребляются в составе предложно-падежной группы, совместно с формой падежа выражая определенное значение. Поэтому предлог принято подчеркивать вместе с существительным, к которому он относится. При этом необходимо обратить внимание на случаи, когда предлог и существительное разделены прилагательными или причастиями, например: вместо старшего брата. В этом случае ошибкой будет подчеркивание предлога вместе с прилагательным как определения; подчеркивание должно быть следующим: вместо старшего брата.

Верно: Вдруг они, сговорившись, улетают прочь от берега.

Корректно: обамомания.

Запятая не нужна. Благо не является вводным словом.

Благо – не вводное слово. Запятая не нужна.

Интересный вопрос. Какое-либо специальное правило, ограничивающее употребление прилагательных, образованных от названий стран, с существительными – названиями городов, нам неизвестно, да и вряд ли оно существует. Дело здесь в общей тенденции к экономии языковых средств: сочетания типа чешская Прага, итальянский Рим, французский Париж потому и выглядят странно, что они избыточны, плеонастичны: вряд ли найдется грамотный человек, не знающий, что Прага находится в Чехии, Рим в Италии, а Париж во Франции. Но чем менее известен населенный пункт, тем более оправданно употребление прилагательного; оправданно оно и в тех случаях, когда существует несколько населенных пунктов с одним и тем же названием в разных странах, например: в отличие от российской Москвы польская Москва – небольшая деревня. Поэтому ответить на Ваш вопрос можно так: явной ошибкой сочетание испанская Барселона не назовешь, но лучше всё же обойтись без прилагательного.