Правильно: Отдел внешних церковных связей Московского патриархата.
Для написания со строчной нет оснований, верно: таежный Есенин.
В названиях улиц, площадей, переулков, проспектов и пр. с прописной буквы пишутся все слова, кроме родовых терминов (т. е. самих слов улица, площадь и т. п.), а также слов года, лет. Правильно: улица Красных Партизан.
Правильно написание строчными: шенгенская виза.
Названия специальностей корректно писать в кавычках со строчной: специальность «инженер-электрик».
Такие названия пишутся без кавычек, со строчной буквы.
Правильно: российский флот (неофициальное название), но: Военно-Морской Флот РФ (официальное наименование).
Правильно: уссурийская тайга.
Правильно написание строчными: ближнее зарубежье, дальнее зарубежье.
Правильно: Северная столица. См.: В. В. Лопатин, И. В. Нечаева, Л. К. Чельцова. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2007.