На Ваш вопрос отвечает Ирина Владимировна Фуфаева, кандидат филологических наук, автор книги «Как называются женщины. Феминитивы: история, устройство, конкуренция» (М., 2020).

Феминитив педагогичка возник после появления в Санкт-Петербурге в 1859 году первых педагогических женских курсов при Мариинской гимназии. Затем такие курсы появились и при других гимназиях. Педагогичками стали называть девушек, которые там обучались. Феминитив был образован от прилагательного педагогический с суффиксом -к(а), а не от существительного педагог, отличался от него по смыслу и был непарным. 

В переписке И. А. Гончарова с великим князем Константином Константиновичем в 1889–1890 годах встречаются номинации, видимо, одной и той же девушки: бывшая педагогичка, воспитанница Женских Педагогических курсов, бывшая слушательница Педагогических курсов, ср: Недавно я имел маленькое сведение о Вашем Высочестве от воспитанницы Женских Педагогических курсов, где Вы… удостоили присутствием их классы. Кстати о воспитанницах. Одна из них, именно Трейгут находится на 3м курсе» [И. А. Гончаров. Письма великому князю Константину Константиновичу (1889)]; Я знаю, что вам трудно писать, но может быть барышня Трейгут, бывшая слушательница Педагогических курсов, с ваших слов напишет несколько строк для нашего успокоения [Константин Константинович (К. Р.). Письмо И. А. Гончарову (1890)]; ― В добавок дети ее, девочки, в том числе и бывшая педагогичка, уехали  на какой-то вечер в Коломенскую Гимназию [И. А. Гончаров. Письма великому князю Константину Константиновичу (1890)].

При этом, поскольку выпускниц курсов тоже называли педагогичками и они работали педагогами (учительницами и гувернантками), слово естественным образом сблизилось с существительным педагог. Далее существительное стало употребляться как феминитив к слову педагог, хотя первое значение у него сохранялось и в раннесоветское время.

Вариант написания может зависеть от внутренних инструкций предприятия.

Можем предположить, что Вы без труда встретите написания типа *придти, *будующий и т. п., однако это не означает, что они соответствуют норме. 

Вот что написано о прилагательных с суфиксом -ск- в полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина:

«В большинстве прилагательных с суффиксом -ск- согласный л перед суффиксом мягкий, поэтому после л пишется ь, например: сельский, уральский, барнаульский. Однако в некоторых прилагательных, образованных от нерусских собственных географических названий, сохраняется твердый л, поэтому ь не пишется, например: кызылский, ямалский (наряду с вариантами кызыльский, ямальский)».

«В большинстве прилагательных с суффиксом -ск- согласные н и р перед суффиксом – твердые, поэтому ь в них не пишется: конский, казанский, тюменский, рыцарский, январский, егерский. Однако в следующих прилагательных эти согласные перед суффиксом -ск- мягкие, в них после н и р пишется ь: день-деньской, июньский, сентябрьский, октябрьский, ноябрьский, декабрьский, а также во многих прилагательных, образованных от нерусских собственных географических названий на -нь, например: тянь-шаньский, тайваньский, пномпеньский, торуньский, сычуаньский, тяньцзиньский».

Что касается слов пермский и кемский, то мягкий знак в них не пишется по простой причине: согласный м произносится перед суффиксом -ск- твердо.

Собственно, именно эти два варианта и приводят справочники. Какое из этих объяснений более правдоподобно - неясно.

Возможны оба варианта, выбор часто зависит от контекста.

Да, эти слова обычно обособляют как вводные.