Эта запятая факультативна.

Запятую нужно поставить либо перед союзом для того чтобы, либо между частями союза (перед словом чтобы).

Правильно: Он был таким, пока не подрался с местной шпаной.

Существительное монета пришло к нам из польского языка, в котором оно восходит к латинскому moneta от глагола monere 'предостерегать'. В древнеримской мифологии Moneta («предостерегающая») – эпитет богини Юноны, предупредившей римлян о землетрясении. При храме Юноны был основан первый монетный двор (отсюда и название).

Следует писать слитно.

Женскую фамилию Троя надо склонять.

Правильно: Мумбаи (это несклоняемое существительное). Именно такой вариант фиксируют современные лексикографические издания, в их числе: словарь Ф. Л. Агеенко «Собственные имена в русском языке» (М., 2001), «Словарь образцового русского ударения» М. А. Штудинера (М., 2005) и др.

Разнобой в написании и наличие варианта Мумбай объясняется влиянием прежнего названия – Бомбей, а также тем обстоятельством, что подобные несклоняемые названия для русского языка нехарактерны.

Корректно: удачный день.

Правильно: Вавилонский плен.

Да, нужна запятая.