Есть несколько версий. Одна: выражение образовано от формулы приветствия Наше вам! путем шутливого дополнения с кисточкой. Имеется в виду, очевидно, кисточка на шапке (ср.: Наше вашим шляпой машем). Другая версия: это часть более пространного приветствия уличных парикмахеров в старой Москве. Зазывая клиентов, они выкрикивали: «Наше вам почтение с кисточкой, с пальцем девять, с огурцом пятнадцать!» Это означало, что брить клиента будут с мылом («с кисточкой»), а в рот под щеку будет засунут либо палец, либо огурец.

МОЛ, частица

Указывает на то, что говорящий передает чужие слова, чужое мнение или приводит свои слова, сказанные в другое время. Обособляется, сближаясь по значению с вводными словами, указывающими на источник сообщения. 

Ей бы попросить смирненько: так и так, мол, сделайте божескую милость, – а она тут по-своему... В. Короленко, Чудная. Из-за холмов неожиданно показалось пепельно-седое кудрявое облако. Оно переглянулось со степью – я, мол, готово – и нахмурилось. А. Чехов, Степь. Человек объявляет вам, и таким спокойным голосом: «Я, мол, намерен жениться»… И. Тургенев, Вешние воды. 

В справочниках по правописанию не приводятся четкие правила написания названий пристаней. Справочник Д. Э. Розенталя «Прописная или строчная?» фиксирует: пристань Кинешма, пристань «Бухта радости». Из этого можно сделать вывод, что употребление кавычек зависит от того, соотносится ли название пристани с географическим названием (пристань Кинешма – пристань города Кинешмы), или же оно ближе к условному названию (пристань «Бухта радости»). Представляется, что название, о котором Вы спрашиваете, ближе к условному, т. е. можно провести аналогию с «Бухтой радости» и предложить написание пристань «Щучий проран».

Вы не ошибаетесь. Во-первых, налицо ошибки в правописании: авторские слова внутри прямой речи должны быть написаны со строчной буквы, а перед первым тире должна стоять не точка, а запятая. Однако, по нашему мнению, первое предложение вообще не следует оформлять как прямую речь. В кавычки лучше заключать только вторую часть высказывания. Возможный вариант: Умение хорошо двигаться, быстро переходить с одной позиции на другую – такие особенности своего подопечного отмечает Алексей. «Если ноги у боксера не работают, он превращается в грушу», – поясняет тренер.

По правилам - нужно склонять.

И то и другое не нравится. Хотя более точный ответ на вопрос "Насколько глубоко проникает?" - "на 10 слоев".

С таким мнением мы не знакомы. Вариант заведующая употребителен.

Особых правил пунктуационного оформления субтитров не существует. В конце повествовательного предложения точка не ставится только в том случае, если предложение представляет собой название («Следствие ведут колобки», «Грачи прилетели» и т. п.).

Может быть, заменить на мероприятия?