Корректно: 1. В г. Усть-Джегута. 2. В г. Мирном. 3. В г. Коврове. 4. В г. Кольчугино. 5. В г. Озеры. 6. В г. Александрове. 7. В г. Орле. 8. В г. Юрьеве-Польском. 9. В г. Гусь-Хрустальном.
О склонении географических названий см. в «Письмовнике».

Если мужская фамилия оканчивается на согласный, она должна склоняться, при этом ее происхождение не имеет никакого значения. Вы найдете эту норму в любом справочнике, где есть раздел, посвященный склонению фамилий. 

Мы ответили Вам на вопрос «Как правильно?». Повторим: правильно склонять Вашу фамилию, ее несклонение по отношению к мужчине (например, *пришел в гости к Борсук) — такая же грамматическая ошибка, как несклонение склоняемого нарицательного существительного (например, *пришел в гости к друг). Дальше Вам решать, следовать правилу или использовать конструкции с грамматической ошибкой.

1. В стихотворении обыгрываются слова карьер и карьера. Карьер — это 'место открытой разработки неглубоко залегающих полезных ископаемых', то есть место хорошее, выгодное, где можно многое добыть и много добиться, ни к чему его оставлять ради скачек. А еще карьер — 'самый быстрый аллюр, ускоренный галоп', может быть здесь просто 'свой темп, стиль жизни'?

2. Слово молодец — существительное. Оно склоняется как слова стол, огурец.

По аналогии с правилами оформления цитат рекомендуется открыть кавычки только в начале первого абзаца и закрыть в конце последнего.

1. Склонение/несклонение аббревиатур связано всего лишь с традицией их употребления. Слово СПИД появилось в нашей речи еще в 1980-е годы и практически сразу стало восприниматься как полноценное существительное мужского рода, то есть приобрело способность склоняться и оформляться строчными буквами, например: Такая же участь ожидает нашу страну и наш народ, который теперь по государственному указу получает прививку духовного СПИДа, который грозит нам окончательной духовной гибелью [Г. В. Свиридов. Музыка как судьба (1987)]; Название этой страшной болезни тогда еще он не знал, но речь шла о спиде [Василий Катанян. Лоскутное одеяло (1980–1989)]. Аббревиатура ВИЧ, как показывает статистика, распространена существенно меньше.

2. В контексте в начале было слово присутствует не наречие, а существительное с предлогом, так как речь идет о начале начал.

3. Ударение в фамилиях на -их, -ых падает на окончание лишь в том случае, если это двусложные фамилии: Больши́х, Долги́х и т. п. В фамилиях с тремя и более слогами ударение такое же, как в исходных прилагательных: Полевы́х, но Пова́ренных. Сдвиг ударения в фамилиях первого типа отчасти можно объяснить тенденцией к ритмическому равновесию.

1. Если части сложносочиненного предложения представляют собой побудительные предложения, запятая перед союзом и не ставится. Таким образом, запятая перед союзом не требуется в обоих примерах.

2. Если речь идет о третьем лице, Наталья является не обращением, а подлежащим (молодец – сказуемым). Запятая между подлежащим и сказуемым не ставится.

Правило таково: «Перед закрывающей кавычкой не ставятся точка, запятая, точка с запятой, двоеточие, тире; по условиям контекста эти знаки ставятся после кавычки: В газете был напечатан рассказ Бунина «Легкое дыхание»; Рядом с зарницей стоит в одном поэтическом ряду слово «заря» – одно из прекраснейших слов русского языка (Пауст.)» [Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / под ред. В. В. Лопатина. Люб. изд. § 159, п. 2].

Слова вотсап, айфон, дизлайк достаточно хорошо освоены в русском языке. Такие написания наиболее частотны (это можно проверить по Национальному корпусу русского языка) и вполне корректны, поскольку сооответствуют английскому произношению. (Хотя в 2020 году орфографисты Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН рекомендовали написание Ватсап.) Написание дислайк тоже встречается, но гораздо реже. Слово Вайлдберриз орфографически менее освоено, оно чаще пока передается латиницей. Существуют варианты Вайлдберриз и Валдберис, они равноправны, выбирать из них пока рано. А вот вариант Уайлдберрис встречается гораздо реже, у него мало шансов закрепиться в русском языке.

Верно: Беловежская Пуща. Противоречия с правилами нет, т. к. мы не можем сказать, что слово пуща употребляется только как родовое наименование, не передавая дополнительных смыслов: все же Беловежская Пуща – это не просто название некоего леса (основное значение слова пуща – обширный густой лес), а наименование природного заповедника, территории, обладающей особым историческим и культурным статусом.

Отметим, что орфографические словари предназначены именно для того, чтобы фиксировать частные орфографические случаи (в отличие от свода правил правописания, описывающего общие закономерности письма), регламентировать написание конкретных слов и словосочетаний. Фиксация в орфографическом словаре означает, что данное написание является нормативным и в дальнейшем обращении к правилам правописания уже нет необходимости.

Такое задание в высшей степени некорректно, поскольку лучшие лингвисты-синтаксисты готовы полемизировать по поводу ответа. Но предпочтительным является вариант с включением слова капитан в состав подлежащего. Это слово (капитан) стало бы приложением к имени, если бы оказалось в постпозиции (где станет обособленным: Себастьян Кабот, испанский капитан...). Мы бы за такие задания (вернее, за умысел засчитать как ошибку включение / невключение капитана в состав подлежащего) отправляли в Южную Америку по следам капитана без обратного билета.

Проблема ведь еще и в том, что испанский — определение именно к капитану, а не к имени и не к сочетанию капитана и имени, иначе получится, что подразумевается, будто был испанский капитан Себастьян Кабот, а был еще, скажем, и португальский капитан Себастьян Кабот. Но тогда и это определение нужно включать в подлежащее, что уже совсем странно. Так что мы бы в конечном счете пришли к выводу, что подлежащее — капитан, а его имя — приложение к нему (такие приложения обособлять не обязательно). Но ни на одном сайте, о которых Вы упоминаете, оно не предусмотрено. Хотя любому человеку, хотя бы раз пытавшемуся разобраться с приложениями, известно, что в сочетаниях нарицательного и собственного имен приложением может быть и то, и другое, причем при одном и том же порядке слов. История с приложениями вообще крайне запутанна, противоречива и, по сути, теоретически не разработана.