Нормативное управление глагола размышлять: о ком-чем. Однако в живой речи нередко встречаются конструкции размышлять над чем: Иногда он даже размышляет над этим вопросом, но он уже отвык размышлять над вопросом другим: кого он воспитывает? [А. С. Макаренко. Книга для родителей (1937)]; На протяжении всего пути до прокуратуры он размышлял над вопросом о двух выстрелах в лжемилиционера [Н. Н. Шпанов. Ученик чародея (1935-1950)]. На наш взгляд, такое употребление грешит разговорностью.
Да, такая форма деепричастия возможна. Например: Впрочем, научась в один день наблюдать ее страшную проницательность, я видел, что... [Н. С. Лесков. Детские годы (1874)]; Если, научась ремеслам и искусствам, вы обольститесь приманками роскоши европейской, вспомните только, чем занимался Петр [Д. Н. Каралис. Дневник (2009)] и т. п.
