Правильно: проблем, возникающих.

Кажется, что несклонение имени граф де Ла Фер можно объяснить разве что традицией. Поскольку авторы перевода романа «Три мушкетера» последовательно склоняют аналогичную фамилию де Ла Порт: Не говорил я вам разве, что она крестница господина де Ла Порта, доверенного лица королевы? Так вот, господин де Ла Порт поместил мою жену у ее величества...

Вполне корректно написание типа врач психиатр и психотерапевт.

В этом случае едва ли используется в значении частицы. Предложение бессоюзное.

В предложении есть деепричастный оборот регулярно проделывая это упражнение. Он сообщает о том, что некое лицо выполняет упражнение. Следующая часть предложения тоже должна быть посвящена этому лицу и его действиям; ср.: человек избавится от... В Вашем предложении не соблюдено грамматическое правило употребления деепричастных оборотов. 

Пунктуация верна.

Фамилии на -а неударное, как правило, склоняются так же, как и обычные существительные женского рода на -а.  

В приведенном примере вставная конструкция представляет собой придаточную часть, парные тире заменяют собой парные запятые: Он долго вглядывался в страницы, проверял всех незнакомых отправителей — которые, как он понял, были благодарными жителями Великобритании — и всех получателей.

Сравним случаи иного рода, которые приводятся, например, в примечаниях к параграфу 26.2 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя: Он посмотрел на пепелище, которое окружало его, — какой ужас! — и руки бессильно опустились у него — запятая закрывает придаточную часть сложноподчиненного предложения; Он встал и, прихрамывая — он был на протезе, — подошёл к окну (Кав.) — вставное предложение примыкает к предшествующему деепричастию, и запятая ставится после всей этой конструкции; Я забрался в угол, в кожаное кресло, такое большое, что в нём можно было лежать, — дедушка всегда хвастался, называя его креслом князя Грузинского, — забрался и смотрел, как скучно веселятся большие (М. Г.) — запятая перед первым тире закрывает предшествующую придаточную часть, а запятая перед вторым тире закрывает деепричастный оборот в самой вставной конструкции.