Предпочтительно не склонять: в городе-государстве Вавилон, в полисе Спарта. Географические названия, включая городские и административные, как правило, склоняются, если они являются славянскими или давно освоенными именами в русском языке. Но в случае городов-государств и названий греческих полисов предпочтительно не склонять по аналогии с другими названиями территориальных единиц, приведенных в «Словаре географических названий» А. В. Суперанской (2013).
Употребление слова конник корректно. Оно зафиксировано в словарях русского литературного языка со значением 'спортсмен, занимающийся конным спортом'.
Таких спортсменов можно называть велогонщиками.
Да, название написано правильно.
Корректно: сорт экстра.
Между названиями команд необходимо тире. Что касается кавычек, то названия спортивных команд выделяются кавычками внутри текста. На афише название обычно и так хорошо выделено (выделительную функцию выполняют шрифт, цвет, положение текста), поэтому кавычки будут избыточны.
Корректно: материалы на присвоение спортивного звания кандидата в мастера спорта.
Возможно как слитное, так и раздельное написание. При слитном написании утверждается неспособность, при раздельном – подчеркивается отрицание (отрицается способность).
Запятая нужна.
