Верно с прописной буквы: Республика Дагестан.
Можно предположить, что в первом случае "он сам" - подлежащее, во втором "сам" - обстоятельство образа действия.
Корректно: из са́мого (центра ч.-л.), в са́мом (центре), в са́мой (сердцевине) и т. п. В этих конструкциях представлены формы адъективного местоимения са́мый: в са́мом де́ле; на са́мом де́ле; са́мое вре́мя гуля́ть. Вероятно, возможна путаница с формами местоимения сам.
Пунктуация зависит от смысла. Подробное объяснение Вы найдете в "Справочнике по пунктуации".
Верно: на пике.
По правилам тире в этом предложении нужно, так как подлежащее выражено инфинитивом.
Правильно: на день рождения.
В заголовке "Заявление" обычно пишут с прописной (большой) буквы, при этом точку после этого слова не ставят.
Вы правы, значения прилагательного актуальный и образованного от него наречия актуально включают в себя компонент 'для настоящего времени'. Оборот актуальный (актуально) и по сей день может показаться избыточным, однако он закрепился в речи. Он вполне уместен, когда нужно подчеркнуть, что явление, о котором идет речь, остается актуальным в течение какого-то времени и сохраняет свою актуальность в настоящем. Приведем пример из мемуаров Д. С. Лихачева: Эти взгляды Мейера служили предметом споров в Кримкабе, и я очень жалею, что не записал их точно и подробно: многое в них остается актуальным и по сей день.
