Верно: Стала относиться к себе по-другому.
Правило простое: под ударением всегда пишется та буква, которая слышится. Ударная позиция является сильной для гласных.
Да, под горку то же, что с горки, т. е. вниз.
Первая часть сложных слов полу... практически всегда пишется слитно с последующим словом.
Сочетание имеет под собой цель трудно признать корректным. Лучше сказать так: Цель этой операции – наведение порядка...
Хоть кол на голове теши (прост. неодобр) – об упрямом, не поддающемся уговорам или равнодушном человеке. Тесать кол – значит заострять палку (кол) при помощи топора. Таким образом, фразеологизм выступает как образная и шутливая характеристика твердости, крепкости головы упрямого человека.
Тире ставится между подлежащим и сказуемым, если подлежащее выражено формой именительного падежа существительного, а сказуемое неопределенной формой или если оба они выражены неопределенной формой (как в данном случае).
