В примерах 1 и 4 возможно и вышел, и вышли. При оборотах, образованных сочетанием «именительный падеж плюс творительный падеж с предлогом с», сказуемое может стоять как в форме множественного, так и в форме единственного числа. Форма множественного числа показывает, что в роли подлежащего выступает всё сочетание, т. е. действие приписывается взаимосвязанным равноправным субъектам. Форма единственного числа показывает, что подлежащим является только существительное в именительном падеже, а существительное в творительном падеже выступает в роли дополнения, обозначая лицо, сопутствующее производителю действия.

Итак, в зависимости от смысла: Муж с женой вышли из подъезда и Муж с друзьями вышли из подъезда – если речь идет обо всех участниках действия. Муж с женой вышел из подъезда и Муж с друзьями вышел из подъезда – если речь идет в первую очередь о муже.

При наличии в конструкции слов вместе, совместно употребляется форма единственного числа сказуемого, поэтому в примере 2 верно: Муж вместе с женой вышел из подъезда. Только единственное число – и в примере 3 (подлежащее – муж): Муж вслед за женой вышел из подъезда.

В современной русской речи слово робот в значении 'автоматическое устройство' сохраняет вариантные формы винительного падежа (см., в частности, ответ на вопрос № 321502). Поэтому возможны оба варианта: представить новые роботы-манипуляторы / новых роботов-манипуляторов.

Ошибки в «Большом толковом словаре» под ред. С. А. Кузнецова (версия 2014 года), размещенном на портале, нет. Различие в словарях, которое Вы обнаружили, свидетельствует об эволюции грамматической нормы. Еще в 1976 году в словаре «Грамматическая правильность русской речи» Л. К. Граудиной, В. А. Ицковича, Л. П. Катлинской была отмечена тенденция к вытеснению родительного падежа со значением части винительным падежом: «При глаголах с общим значением «брать», «давать» (брать, взять, выпить, дать, купить, привезти, принести, съесть и под.) выбор падежной формы, в соответствии со старой нормой, определяется значением этой формы: винительный падеж обозначал полный охват объекта действием, определенное количество, родительный – распространение действия на часть объекта, неопределенное количество, например: Налей себе молока из кувшина (т. е. некоторую часть) – Выпей молоко, которое тебе оставлено. Такое разграничение конструкций существует еще и в настоящее время. Однако наряду с этим… различие между родительным и винительным падежом в описываемых конструкциях нейтрализуется, причем в современном употреблении родительный падеж в количественно-выделительном значении вытесняется винительным. Особенно активно этот процесс происходит в разговорной речи, в которой зафиксировано равное количество употреблений родительного и винительного падежа. Ср.: взять продуктов выпей воды, принеси молока, купить конопляного семени, принести хлеба, грибочков купить надо – брать укроп, дать сдачу, купить цветы, привезти сухари».

1. Здесь возможно: с тысячей и с  тысячью игроков.

2. Да, все верно.

Мужская фамилия Луц склоняется, женская – нет. Отправить сообщение Егору Луцу – правильно, отправить сообщение Егору Луц – грамматическая ошибка.

Из первых двух вариантов корректно: просто в использовании.

Фамилия Гмыря должна склоняться. К сожалению, случаи, когда человек настаивает на несклонении своей фамилии, даже если это противоречит нормам русской грамматики, не редкость. Но ведь фамилия тоже является словом, и слово это должно подчиняться законам языка (а не прихоти носителя фамилии). Что делать в Вашей ситуации? Возможно, спросить у выпускницы и родителей, хотят ли они, чтобы в аттестате (получение которого – важное событие в жизни человека) навсегда осталась грамматическая ошибка.

Верно: цветы были красивыми; он будет хорошим товарищем; она была учителем. Вариант Цветы были красивые допустим.

Можно писать как кириллицей, так и латиницей в зависимости от стиля текста и аудитории. Корректно: жанр экшен, жанр ролевая игра, жанр шутер, жанр action, жанр shooter.

Фамилии на -ич в русском языке склоняются. Приведем примеры из научной и художественной литературы:

В работах де Гроота, Е. Куриловича, В. В. Виноградова, Е. В. Кротевича был подчеркнут еще ранее выдвигавшийся в синтаксической науке тезис... (Н. Ю. Шведова).

Группа штурмовиков во главе с Кротевичем обнаружила фашистские корабли (А. А. Тимофеева-Егорова).