Словарная фиксация: День знаний. В названиях праздников с прописной буквы пишется первое слово и собственные имена, входящие в название.
В данном случае - со строчной буквы.
Орфографический словарь
Большой толковый словарь
Нет оснований писать слова в этом словосочетании с большой буквы.
В этом названии с большой буквы пишется только первое слово: Совет труда и обороны. См.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011.
Здесь корректно написание со строчной буквы.
Названия исторических эпох пишутся с большой буквы: Античность, Средневековье, Новое время.
Заглавные буквы не нужны.
Слово республика пишется с большой буквы, слово Карелия склоняется: ...в республике Карелии.
Правильно со строчной: ежегодное послание Президента Российской Федерации Федеральному Собранию Российской Федерации о положении в стране и об основных направлениях внутренней и внешней политики государства.
Пишется две буквы Н.