Правильно: устами младенца глаголет истина. Устаревшее глаголать – глагол первого спряжения (некоторые словари, правда, отмечают и вариант глаголить, но в рассматриваемом выражении употребляется все же форма 3-го лица ед. числа от глаголать).

Действительно, глагол играюсь - разговорно-просторечный.

Согласны с Вами, глагол несовершенного вида в этом слогане выглядел бы лучше.

Спряжение таково: лажу, лазишь, лазит; лазим, лазите, лазят.

Да, это так. В русском языке есть два глагола: лазить и лазать. Глагол лазить – общеупотребительный и стилистически нейтральный, форма 1-го лица ед. числа этого глагола – лажу. А глагол лазать (форма 1-го лица ед. числа – лазаю) отмечается в словарях как разговорный, т. е. его употребление допустимо в устной речи, но нежелательно на письме.

Какое лексическое значение должен иметь такой глагол?

Да, конечно же. Спасибо за дополнение.

Да, форма глагола-сказуемого корректна.

Лучше всего - просто попросить ребенка запомнить это слово.

Да, по мнению некоторых лингвистов (например, Н. М. Шанского), слова берег и беречь этимологически связаны друг с другом. 

Слово берег восходит к индоевропейской основе *bherg'hos и имеет соответствия в других индоевропейских языках: ср. нем. Berg 'гора', норв. berg 'гора; горная цепь', исл. bjarg 'скала, утес', арм. berj 'высота', т. е. первоначальное значение этого индоевропейского корня – 'высота, возвышение', затем – 'гора, гористый берег' и – уже в общеславянском языке – 'берег' вообще (ср. в русских говорах гора – 'возвышенный берег', дорога горой – 'по высокому берегу реки').

Слово беречь восходит к общеслав. *bergti, исходное значение которого – 'прятать, укрывать, защищать'.  Этот глагол тоже имеет соответствия в других индоевропейских языках, ср. нем. bergen 'прятать, закрывать'. Ученые предполагают, что он восходит к той самой индоевропейской основе *bherg'hos. Развитие значения, возможно, шло следующим образом: 'гора' > 'убежище' (гора, углубление в горе служили средством защиты, местом, где можно спрятаться).