Простые и трудные случаи склонения фамилий подробно описаны в справочниках, размещенных на портале. Будьте добры, воспользуйтесь, пожалуйста, этими материалами. 

Тире в предложении нужно. Оно однозначно показывает, что сочетание в России входит в состав подлежащего, а не сказуемого. Без тире восприятие предложения будет затруднено. Ваше предложение можно подвести под правило: тире перед сказуемым-прилагательным ставится при логическом или интонационном членении предложения (Д. Э. Розенталь. Справочник по русскому языку. Пунктуация. § 5, п. 10.1). Обратите внимание: стилистически предложение небезупречно, так как и группа подлежащего, и группа сказуемого заканчиваются сочетанием предлога в с существительным со значением места. Предложение можно перестроить: Российское озеро Байкал самое глубокое в мире.

Вводное слово в начале предложения отделяется запятой. Корректно: Он искал ее всюду. В частности, в углу.

Предпочтительно: на круге.

Можно поставить интонационное тире, но вряд ли уместно двоеточие.

Здесь авторские слова, стоящие после прямой речи, представляют собой отдельное предложение. Такой случай приведен в примечании 2 к параграфу 48 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя. Корректен второй из приведенных вариантов: 

— Сегодня холодно. — Она отвернулась.

Вы совершенно правы: написание с большой буквы каждого слова в названии противоречит правилам русской орфографии. В названиях организаций с большой буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные. Правильно: Городской дворец культуры Красноармейска (если Городской — первое слово официального названия), Красноармейский городской дворец культуры (если первое слово в официальном названии — Красноармейский).

Слово боль обычно употребляется в формах единственного числа. В форме множественного числа оно получает дополнительное значение подчеркнутой длительности (ср., например, страдание и страдания). Таким образом, предложения типа у пациента головные боли обозначают неоднократные длительные болезненные состояния.