Корректно: мой день на гастролях, мой день во время гастролей.
В настоящее время рекомендуется слитное написание: минимаркет. Поэтому верно: кафе-минимаркет.
Названия исторических эпох пишутся с большой буквы: Античность, Средневековье, Новое время.
Фраза корректна. У глагола отойти есть значение «отлучиться, уйти на время».
В значении предлога: в течение (чего) (во время чего-н., в продолжение).
См. в учебнике Е. И. Литневской Время как морфологический признак глагола.
Побывать = посетить (побывать за рубежом). Побыть = быть некоторое время (побыть ответственным).
В рабочем порядке – не отрываясь от работы; во время работы; оперативно.
Если Вы имеете в виду время, то так обычно не говорят.
Корректно раздельное написание: Посмотрим, на сколько (на какое время) её хватит.
