Возможны оба варианта. Раздельное написание подчеркивает отрицание.
Первый вариант предпочтителен. Во втором же подчеркивается, что нужно купить "каких-нибудь (сколько-нибудь) фруктов, какого-нибудь сока".
Вероятно, сыщик.
Корректно: он не досчитал до ста и пошёл искать. Ср.: они недосчитались трех участников.
Такового устойчивого выражения в русском литературном языке не существует. Ср.: нервы расстроились, разыгрались, расходились и т. п.; успокоить, испортить, расшатать, трепать и т. п. чьи-л. нервы; действовать на нервы, играть на нервах.
Корректно: полемизировать с кем-либо о чем-либо (ср.: спорить).
Ломать копья – с жаром спорить о чём-либо, защищать, отстаивать что-либо.
Это название по сути представляет собой прозвище. Трудно спорить о корректности или некорректности прозвищ.
