Не пишется раздельно при противопоставлении, которое выражено союзом а (напр.: овраг не длинный, а короткий): здесь один признак отрицается, а второй утверждается. При союзе но нет противоположных друг другу понятий, они вполне совместимы, т. е. предмету одновременно приписываются два признака без отрицания одного из них: овраг и недлинный (=короткий), и в то же время глубокий. Это дает возможность сохранить слитное написание.

Почему — местоименное наречие, функция дополнения для него не характерна, поэтому кавычки нужны.

Деепричастие может быть употреблено без пояснения, если контекст ясен и не вызывает двоякого толкования. Однако в Вашем примере два деепричастия различаются синтаксическими особенностями: изучая предполагает беспредложное дополнение, а погружаясь — предложное. Оставить первое деепричастие без дополнения можно лишь в случае совпадающего управления, то есть совпадающих форм зависимых слов; ср.: изучая и глубоко постигая математику. 

Наречие высокопрофессионально соответствует нормам русского литературного языка, ср.: Профанация, вовсе уже неуместная ныне, когда часть писателей работает так высокопрофессионально, так глубоко и серьезно исследует действительность, осмысливает жизнь и самое мысль, и литературное движение в стране, упорный поиск в духовном бытие народа, в нравственном развитии общества (В. Астафьев. Зрячий посох). 

Оно образуется от прилагательного высокопрофессиональный.

Большой толковый словарь

Слово долговечный образовано от слов долго и вечный. Способ словообразования — сращение. При анализе любого производного слова, в том числе и некоторых сращений, следует иметь в виду, что значение производного слова не всегда является суммой значений производящих компонентов. В словах-сращениях компоненты мало­, высоко­, глубоко­, долго означают низкую или высокую степень признака и могут включать компоненты, которые в свободных словосочетаниях лексически несовместимы.

Фраза Я правильно понимаю? имеет право на существование. Она применяется в ситуациях, когда говорящий хочет удостовериться в корректности своего понимания информации или ситуации. Первое значение глагола понять — «усвоить, сделать принадлежностью своего сознания смысл, сущность, значение и т. п. чего-л.», и в этом значении глагол может сочетаться с наречиями, указывающими на субъективность понимания: плохо, хорошо, правильно, неправильно, приблизительно, глубоко, поверхностно, по-своему и т. д. 

В обоих случаях верно раздельное написание.

В слове въедливость имеются приставка въ-; корень -ед-; суффикс -лив-; суффикс -ость-. Сществительное образовано от прилагательного въедливый, этимологически связанного с глаголом въедаться. В русском языке существует ряд слов с приставкой в-, которые имеют значение проникновения, внедрения во что-то. Например, вгрызаться, втираться, впитываться. В случае со словом въедливость значение также связано с проникновением, но уже не физическим, а ментальным. Это качество человека, который стремится глубоко проникнуть в суть вещей, не упуская ни одной детали. 

В научной литературе на русском языке глубоко укоренена традиция не отбивать пробелом буквосочетание об. от номера листа: л. 15об. Между тем в правилах библиографического оформления такой способ обозначения номера листа архивного дела не обнаруживается. Напротив, в ГОСТ Р 7.0.5–2008 «Библиографическая ссылка. Общие требования и правила составления» находим среди примеров: Л. 18–19 об. Традиция и норма здесь противоречат друг другу. Автор или редактор решает, что ему ближе.