Слово глава в значении 'руководитель' может употребляться и как существительное мужского рода, и как существительное женского рода. Сочетание избранная глава – корректно.
Правильно:компримирование.
В «Русском орфографическом словаре» указано: сектор Газа, сектора Газа (Газа не склоняется).
Запятая не нужна.
Выражение на голубом глазу – усечённая форма фразеологизма врать на голубом глазу – врать не краснея. В основе этого выражения, вероятно, лежит представление о "ясности" взгляда, честности говорящего.
Да, это пары родственных слов.
Между наименованием главы и рубрикой ставится точка. Корректно:
Глава 1. Восприятие совершенства
Часть первая
В образцовой литературной речи предпочтительно: глава МИД. В разговорной речи возможно: глава МИДа.
Да, запятую нужно поставить.