Словари
доморо́щенный
ДОМОРО́ЩЕННЫЙ \\ д[ə]моро́щенный; доморо́ще[н]ый.
Ответы справочной службы
Вы имеете в виду написание о? Здесь о под ударением, никакую другую букву мы и не можем написать. Правило, гласящее, что в этом корне с чередованием перед щ всегда а, регулирует написание на месте безударного гласного.
А какое это значение?
Эти имена нужно писать с большой буквы. Верно: Гиппократ.
Такое употребление корректно. Словари отмечают у слова доморощенный основное значение 'выращенный дома, в своем хозяйстве; домашний'. Значение 'не обладающий достоинствами, приобретаемыми систематическим изучением чего-либо, примитивный, заурядный' (доморощенный артист, доморощенные философы) – второе, переносное значение слова доморощенный.
Справочники
Полные формы § 98. Пишутся с нн суффиксы полных форм страдательных причастий прошедшего времени: -нн- и -ённ- (-енн-). Соотносительные с ними по форме прилагательные пишутся в одних случаях тоже с нн в суффиксе, в других — с одним н. Пишутся с нн причастия и прилагательные на -ованный, -ёванный, -еванный (образованные от глаголов на -овать, -евать), напр.: балованный, корчёванный, линованный, малёванный, организованный;
...нное око; в) сложные прилагательные долгожданный, доморощенный...
